Розділ і Геометричні характеристики плоских перерізів

1. Статичні моменти площі. Визначення центру перерізу

Для оцінки міцності та жорсткості стрижня деякого перерізу потрібно знати моменти інерції цього перерізу відносно головних центральних осей, які мають перетин у центрі перерізу. Щоб знайти ці осі потрібно знати положення центру.

Якщо переріз простий (прямокутник, кут, кільце) центр визначаться просто. Для складних перерізів (як, наприклад, на рисунку 1.1), що складаються із простих, визначають центр за формулами:

; ; (1.1)

Z_C та Y_C – координати центра у деякій довільно вибраній системі XOY.

- статичний момент перерізу відносно осі ОУ – сума статичних моментів кожної простої фігури відносно осі ОУ.

- статичний момент перерізу відносно осі OZ.

- площа перерізу – сума площ простих фігур.

z₁,y₁ – координати центру простої фігури І.

z₂, y₂ – теж саме для простої фігури ІІ

z₃, y₃ - теж саме для простої фігури ІІІ

Якщо вибрати точку О (початок допоміжних осей OZ та OY) у центрі фігури І, тоді координати z₁=0, y₁=0, що спрощує розрахунок.

Приклад. Нехай для даного перерізу (рис. 1.1)

Знайти центр перерізу.

Розв'язання. Знаходимо статичні моменти перерізу:

Тепер обчислюємо координати центра:

1.2 Моменти інерції. Моменти інерції для простих перерізів (прямокутник, круг, кільце)

Розрізняють осьові, полярні та відцентрові моменти інерції. Полярні моменти інерції мають практичне значення для центрально-симетричних перерізів (круг, кільце) відносно їх центрів (як, наприклад, на рисунку 1.2).

;

Рисунок 1.2

Полярні моменти інерції використовують у розрахунках на міцність та при визначенні деформацій при крученні валів круглих та кільцевих перерізів.

Осьові моменти інерції відносно головних центральних осей (рисунки 1.3, 1.4, 1.5) використовують у розрахунках на міцність та при визначенні деформацій при згинанні.

Рисунок 1.3	Рисунок 1.4	Рисунок 1.5

3. Головні осі. Центральні осі. Головні центральні осі

Відцентрові моменти інерції у опорі матеріалів мають допоміжне значення і застосовуються для визначення головних осей.

Якщо відносно двох взаємно-перпендикулярних осей відцентровий момент інерції для деякого перерізу дорівнює нулеві, це означає, що ці осі – головні. Для вісесиметричних та центральносиметричних перерізів головні осі шукаються просто тому, що дві взаємно перпендикулярні осі, з яких хоча б одна є віссю симетрії фігури, завжди будуть її головними осями інерції. Наприклад на рис. 1.3, рис. 1.4 , рис. 1.5 осі z та y – головні тому, що серед них є осі симетрії і, отже, .

Для інших перерізів, наприклад , що на рисунку 1.1, головні осі шукають так:

1. Знаходять центр перерізу за допомогою статичних моментів.

2. Проводять зручним чином (як правило – паралельно до сторін перерізу) через центр осі та - центральні осі.

3. Знаходять осьові , та відцентровий моменти інерції відносно центральних , осей.

4. За формулою шукають кут, на який треба повернути центральні осі Z_C, Y_C відносно центра перерізу, щоб вони стали головними (рис. 1.6) . Якщо , тоді повертати центральні осі проти годинникової стрілки.

Таким чином отримують положення головних центральних осей перерізу u та v.

Рисунок 1.6