Ключові слова

• елемент об’єму тіла

• нескінченно малий паралелепіпед

• нескінченно малі грані елементарного паралелепіпеда

• нормальні до граней проекції повних напружень –

• дотичні до граней проекції повних напружень -

• Напруження в точці

• квадратна матриця

• Тензор напруження

• парність дотичних напружень

• Головні площадки

• головні напруження

• Лінійний напружений стан

• нормаль до площини

• похила під кутом α до напрямку площина

• Плоский напружений стан

• «нульовий» рядок та «нульовий» стовбець

• Пряма задача плоского напруженого стану

• алгебраїчно найбільше ненульове головне напруження

• Обернена задача в плоскому напруженому стані

• Об’ємний напружений стан

• інваріанти тензора напружень

4.8 Типова задача

Відомі нормальні напруження на двох взаємно перпендикулярних площинах та дотичне напруження на одній з них у околі точки А навантаженого тіла. Визначити нормальні та дотичні напруження на площині, нормаль до якої складає кут ω=30⁰ із горизонтальною віссю у околі точки А (рис. 4.17).

Рисунок 4.17	Рисунок 4.18

Розв’язання. Спочатку домалюємо нормальні та дотичні напруження на гранях елементу, на яких їх недостає (рис. 4.18).

Нехай права грань – це (α) площадка, а верхня – (β) площадка.

Тоді .

На фронтальній грані напруження відсутні. Значить одне з головних напружень дорівнює нулю. Робимо припущення, що напружений стан – плоский. Шукаємо інші два головних напруження за формулами (4.7)

Отже, маємо три числа, що є головними напруженнями. Присвоїмо їм індекси 1, 2, 3, щоб виконувалася нерівність :

Тоді

Перевірка: . Вірно

За формулою (4.8) знаходимо кут , на який треба повернути напрям

щоб отримати напрям :

Повертаємо напрямок відносно центра елемента на кут проти годинникової стрілки, оскільки (рис. 4,19). і отримаємо напрямок дії .

Рисунок 4.19

Щоб знайти нормальні та дотичні напруження на площині, нормаль до якої складає кут з горизонтальною віссю, потрібно знайти кут між нормаллю до вказаної площини та напрямом дії . (рис. 4.20)

Рисунок 4.20

Кут

Напрям відліку кута беремо від . (див. рис. 4.20).

Тепер розв’язуємо пряму задачу плоского напруженого стану.

Використовуємо формули (4.3), де замість кута покладено кут , а замість значення (яке у нашому прикладі дорівнює нулю) покладемо значення Отже маємо:

Враховуючи значення та , малюємо нормальне та дотичне напруження на площадці, нормаль до якої складає кут до горизонтальної осі (рис. 4.12).

Знак додатні, отже обертає добудований пунктиром елемент відносно точки А за годинниковою стрілкою.

Рисунок 4.21

4.9 Варіанти завдань для модульної контрольної роботи

На двох взаємно перпендикулярних площинах ( α-вертикальна та β-горизонтальна ) відомі нормальні ( σ_α та σ_β ) напруження та дотичне τ_α напруження у околі точки А навантаженого тіла. Визначити головні напруження та головні площадки. Перевірити міцність елемента за III та IV теорією.

Дані узять з таблиці 4.3 за правою цифрою варіанту та із таблиці 4.2 за середньою цифрою варіанту.