4.6 Обернена задача плоского напруженого стану

В точці відомі нормальні й дотичні напруження, які діють у двох взаємно перпендикулярних площадках, що проходять через дану точку; треба знайти головні площадки і головні напруження. Тобто дано елемент a₁, b₁, c₁, d₁ з нормальними та дотичними напруженнями, що діють на його гранях; треба визначити положення елемента a, b, c, d, щоб його грані стали головними площадками (рис.4.12). Головні напруження знаходимо за формулами:

(4.7)

У залежності від значень знайдених головних напружень призначаємо індекси 1, 2 або 3 цим головним напруженням так, щоб виконувалась нерівність

Кут α, на який треба повернути нормаль n_α, щоб знайти напрямок алгебраїчно найбільшого ненульового головного напруження, знаходиться за формулою:

(4.8)

Звідки

Приклад 4.6. По гранях елемента a₁, b₁, c₁, d₁, (рис. 4.15) діють наведені на рисунку напруження. Потрібно знайти головні напруження та відповідні до них головні площини (елемент a b c d).

Розв’язання. Якщо позначимо площадки через (α) та (β), тоді маємо, що

Рисунок 4.15

За формулою (4.7) отримаємо значення:

Оскільки на фронтальній (передній) грані елемента відсутні дотичні та нормальні напруження, тоді ця грань головна і діюче на ній головне напруження дорівнює нулю. Отже, маємо

За формулою (4.8) знайдемо кут α₀:

Кут α₀=14^о32^/; Цей кут відкладаємо від горизонталі (напрям n_α) проти годинникової стрілки (α₀>0) і знаходимо напрям напруження σ₁.

Напрям σ₃ перпендикулярний до нього. Тоді шукані головні площадки будуть перпендикулярними до напрямків головних напружень σ₁ та σ₃ (елементи a b c d).

Фронтальне площина, де діє σ₂=0 так і залишається фронтально (див. рис. 4.16)

Рисунок 4.16

4.7 Об’ємний напружений стан. Головні напруження

Ознакою об’ємного напруженого стану у околі деякої точки навантаженого тіла є те що, жодне з головних напружень не дорівнює нулю.

Тобто .

Якщо скласти тензор напружень для об’ємного напруженого стану, тоді у нього не буде жодного «нульового» рядка та «нульового» стовпця.

Складемо кубічне рівняння відносно нормального напруження σ на головній площині.

(4.9)

З компонентів тензора напружень складемо вирази:

(4.10)

Розв’язок рівняння (4.9) дає три дійсні корені, які є головними напруженнями, що діють на трьох головних площадках, тобто Як і раніше Головні напруження в точці даного навантаженого тіла мають стаціонарні значення, що не залежать від вибору початкової системи координатних осей Х, У, Z. (див. рис. 4.3).

Тому незалежно від вибору координатних осей Х, У, Z.

І₁ – перший, І₂ – другий, І₃ – третій інваріанти тензора напружень.

Контрольні питання

48. Наслідком чого є напруження?

49. Що називають повними напруженнями?

50. Що називається тензором напружень?

51. Як визначити знаки компонентів тензора напружень?

52. Закон парності дотичних напружень.

53. Що називається головною площадкою та головним напруженням?

54. Як визначити, що елемент знаходиться у лінійному напруженому стані?

55. Що називається кутом нахилу площадки у лінійному напруженому стані?

56. Як визначається знак кута нахилу площадки?

57. Що означають формули , ?

58. У якому разі замість формули використовують формулу ?

59. Як визначити, що елемент знаходиться у плоскому напруженому стані?

60. Що називається кутом нахилу площадки у плоскому напруженому стані?

61. Як визначається знак кута нахилу площадки у плоскому напруженому стані?

62. Що означають формули ?

63. Що означають формули ?

64. Що означають формули , ?

65. Сформулюйте обернену задачу плоского напруженого стану

66. Сформулюйте пряму задачу плоского напруженого стану

67. Що означають формули ?

68. Як визначити кут α, на який треба повернути нормаль n_α, щоб знайти напрямок алгебраїчно найбільшого ненульового головного напруження?

69. Як визначити, що елемент знаходиться у об’ємному напруженому стані?

70. Що визначається із рівняння ?

71. Чому дорівнюють коефіцієнти І₁, І₂, І₃ ?