4.3 Лінійний напружений стан

Елементи, що перебувають в лінійному напруженому стані зустрічаються в околі деяких точок стрижня, що працює на згинання, складний опір, але частіше – на розтяг чи стискання.

Ознакою лінійного напруженого стану є рівність двох головних напружень нулю при тому, що одне з головних напружень відмінне від нуля.

При розтяганні стрижня маємо головні площини І, ІІ та ІІІ (рис. 4.6), бо там не діють дотичні напруження.

Рисунок 4.6

У околі точки А виділимо елемент площинами, паралельними до вказаних головних площин І, ІІ та ІІІ (рис. 4.7). На його гранях діють напруження , . Тоді головні напруження будуть мати значення , .

Рисунок 4.7	Рисунок 4.8

Напруження на будь якій похилій під кутом α до напрямку площині (рисунок 4.8) вже будуть як нормальні до цієї площини, так і дотичні до неї. Кут α береться від напруження до нормалі до цієї площини. Знак кута α зрозумілий з рисунка 4.9.

Рисунок 4.9

, де

або (4.1)

Для стиснутого стрижня напруження на головних площадках стануть такі:

Тоді головні напруження матимуть значення:

Напруження на похилій площині стануть такими:

(4.2)

Приклад 4.3 Визначити нормальні та дотичні напруження на похилих площадках (рис. 4.10, а-в).

Розв’язання.

Для елемента на рис 4.10 а маємо:

, α=30⁰

тоді

Рисунок 4.10

Для елемента на рис. 4.10 б маємо:

, α=-30⁰

тоді

Для елемента на рисунку 4.10 в маємо:

, α=-30⁰

тоді

4.4 Плоский напружений стан

Зустрічається плоский напружений стан при крученні, згинанні та складному опорі.

Ознакою плоского напруженого стану є рівність нулеві одного з головних напружень, тоді як два інших головні напруження відмінні від нуля.

Приклад 4.4

Складемо тензор напружень (рис. 4.11)для елемента у околі деякої точки

Розв’язання.

Тоді тензор буде мати вигляд:

У плоскому напруженому стані в тензорі напружень завжди є "нульовий" рядок та "нульовий" стовпчик.

Рисунок 4.11

4.5 Пряма задача плоского напруженого стану

В точці відомі положення головних площадок і відповідні до них головні напруження; потрібно знайти нормальні й дотичні напруження, що діють на площадках елемента a, b, c, d, які нахилені під заданим кутом α до головних площадок a, b, c, d, (рисунок 4.12).

Рисунок 4.12

Кут α завжди береться від алгебраїчно найбільшого ненульового головного напруження. Наприклад, якщо

тоді кут α до нормалі похилої площини береться від напряму .

Тоді нормальні та дотичні напруження на (α) площині будуть:

(4.3)

На площині (перпендикулярній до (α) площини):

(4.4)

Із формул (4.3) та (4.4) слідує, що

(4.5)

для будь якого кута α.

(4.6)

Рівність (4.5) виражає закон незалежності суми нормальних напружень на двох взаємно перпендикулярних площинах від кута α їх нахилу до головних площин.

Рівність (4.6) виражає закон парності дотичних напружень.

Якщо , тоді вони напрямлені від площадок (α) та (β). Коли ж , тоді до площадок (α) та (β).

Якщо , тоді . Це означає, що прагне повернути елемент за годинниковою стрілкою відносно центра елемента – точки А, а - проти (див. рис. 4.12)

Приклад 4.5 На головних площадках діють напруження 90МПа та 60МПа. Знайти нормальні й дотичні напруження на гранях елемента, одна з яких нахилена до горизонталі під кутом 20⁰ (рис. 4.13).

Рисунок 4.13

Розв’язання. Маємо головні напруження:

(відкладаємо від алгебраїчно найбільшого напруження, тобто ₁=90 МПа до нормалі n_α однієї з площадок). Кут α від’ємний, тому за годинниковою стрілкою. Тоді за формулами (4.3) та (4.4) маємо:

Враховуючи знаки знайдених напружень, малюємо їх напрямки. (рис. 4.14)

Рисунок 4.14