4.1 Напруження в точці. Тензор напружень

Напруження є наслідком взаємодії частинок тіла при його навантажуванні. Для дослідження напруженого стану навантаженого тіла у деякій точці А виділимо елемент об’єму тіла у вигляді нескінченно малого паралелепіпеда біля цієї точки. (рис. 4.1).

Рисунок 4.1	Рисунок 4.2

До граней виділеного паралелепіпеда прикладені внутрішні сили, які замінюють дію відкинутої частини тіла. Ці внутрішні сили, що приходяться на нескінченно малі грані елементарного паралелепіпеда, будемо називати повними напруженнями P_X, P_Y, P_Z (рис. 4.2). Їх можна зобразити у вигляді нормальних та дотичних складових – проекцій повних напружень на координатні осі, як це показано на видимих гранях паралелепіпеда (рис. 4.3).

Рисунок 4.3

Із умови рівноваги паралелепіпеда витікає, що на невидимих гранях діють такі ж самі за величиною, але протилежні за напрямом проекції повних

напружень: нормальних до граней – та дотичних до граней -

Отже, на гранях елементарного паралелепіпеда, виділеного в околі точки А навантаженого тіла, діють дев’ять компонент напружень, які можна подати у вигляді квадратної матриці – тензора напружень в точці А:

Перший рядок – напруження, що діють на площадці, перпендикулярній до осі Х, другий рядок – до осі у, третій – до осі z. На видимих площадках додатні нормальні напруження співпадають за напрямом із відповідними осями. Х; Y або Z. Дотичні додатні співнапрямні із осями, паралельно яким вони діють. На невидимих гранях паралелепіпеда навпаки – коли протилежно напрямлені до напрямків осей, тоді додатні і нормальні і дотичні.

Приклад 4.1 Записати тензор напружень у околі точки А за поданими на гранях паралелепіпеда напруженнями (рис. 4.4).

Розв’язання:

Рисунок 4.4

Визначаємо компоненти тензора:

Записуємо тензор напруження

4.2 Закон парності дотичних напружень. Головні площадки та головні напруження

Якщо придивитися до напрямків дотичних напружень на взаємно перпендикулярних площадках, тоді можна помітити, що вони мають величину і напрям, визначені за певним законом:

Дотичні напруження на двох будь-яких взаємно перпендикулярних площадках, які напрямлені перпендикулярно до лінії перетину площадок, однакові за модулем і намагаються повернути елемент у різні боки. Це – закон парності дотичних напружень.

Якщо змінити відносно осей X, Y та Z орієнтування виділеного паралелепіпеда, тоді напруження на гранях змінюються теж. Можна відшукати таке положення, коли на гранях не будуть діяти дотичні напруження. Такі площадки називаються головними площадками. Нормальні напруження, які діють на головних площадках називаються головними напруженнями. Їх назначають через символи . Причому повинна виконуватися алгебраїчно нерівність

.

Приклад 4.2. Показати значення головних напружень (рис. 4.5).

Розв’язання. Спочатку запишемо напруження :

.

Рисунок 4.5

Оскільки дотичні напруження на гранях відсутні, то маємо головні площини. Тоді згідно нерівності запишемо головні напруження:

.