3 Обзор существующих работ

Первые попытки смоделировать газ и дым в кинематографе были произведены в середине 80-х годов XX века. Одними из первых исследователей в этой области были Дж. Гарднер, который в работе [2] предложил математическую модель для моделирования и визуализации разных типов облаков, а также У. Ривз, описавший в [3] создание спецэффектов с использованием частиц. Но работах того времени исследователи даже не пытались моделировать физическую суть эффектов.

Решение системы Навье-Стокса было слишком тяжелым для компьютеров того времени. Но дело было не только в произвольности – исследователи не знали, как управлять полученной субстанцией. Активно начали развиваться подходы, представляющие дым, как систему частиц с некоторой силой влияющих друг на друга. Такой подход обладает не слишком высоким качеством, но высокой производительностью, поэтому зачастую использовался в компьютерных играх. Подобные методы развиваются до сих пор. Например, в работе [4] предлагается алгоритм моделирования дыма, когда нужна высокая производительность, но качество не так важно.

Положение дел оставалось таким вплоть до появления статьи Н. Фостера [5], содержащей детальное описание алгоритма моделирования воды на основе решения уравнений Навье-Стокса. В дальнейшем при участии Дж. Стэма была опубликована серия работ [6, 9], в которой при визуализации дыма среда также описывалась с помощью трёхмерных уравнений Навье-Стокса. Здесь жидкость и газ уже описывались, как эйлерова среда, но на некоторых этапах решения системы уравнений представлялись набором частичек. Поэтому такие алгоритмы стали называть полулагранжевыми. Алгоритм Стэма[9] до сих пор считается каноническим, и на нем основано большинство последующих работ.

Для того, чтобы моделирование дыма было детальным нужно использовать особые процедуры, восстанавливающие завихрения, потерянные при расчётах грубыми методами[6], либо производить расчёты на очень больших сетках. Тут и встают вопросы памяти и производительности.

Графические ускорители хорошо показали себя в подобных задачах. В работах [10] и [11] удалось реализовать грубое моделирование дыма в реальном времени. В работе [12] реализован алгоритм из [9] на GPU, но использованием старых технологий. Он не оптимизирован, и возможно использование только одного GPU. В работах [24] и [25] показано решение первого этапа вычислительного алгоритма – полулагранжевой адвекции – на одном и нескольких GPU соответственно. В работе [23] была проведена попытка ускорить вычисления другого этапа алгоритма – проекции – за счёт использования многосеточного решателя. В работе [19] показан общий прирост производительности при использовании многосеточных солверов. В работах [26, 27] авторы реализуют multi-GPU решатель с методом PIC для адвекции, но не используют многосеточный метод на этапе проекции.

4 Постановка задачи

В данной работе за основу взят алгоритм из [9]. Моделируемая среда рассматривается как невязкий несжимаемый газ. Данные упрощения были сделаны из соображений, что расчёты будут проводиться на грубой сетке, и, таким образом, эффект вязкости в любом случае будет утерян. А так как скорость распространения дым, а заметно меньше скорости звука, то сжимаемостью также можно пренебречь. Рассматриваемый процесс описывается следующей системой трёхмерных уравнений Эйлера:

где и p - искомые вектор скорости и давление, а – известная внешняя сила, например, описанная далее сила плавучести.

Так как плотность считается константной и, в данном случае, равной единице, то в рассматриваемой системе имеется четыре неизвестных и четыре уравнения. На внешних границах имеющей форму параллепипеда области G_ext, в которой будут проводиться расчёты, заданы естественные условия, позволяющие газу беспрепятственно входить и выходить из области. На границах объектов произвольной формы, расположенных внутри области G_int наложены условия не протекания, препятствующие попаданию дыма внутрь объектов. Начальное распределение искомых величин задаётся аниматором исходя из того, что за эффект он хочет воспроизвести, и в общем случае представляется заранее известными функциями U₀ и p₀, которые должны быть согласованы с граничными условиями.

Данная задача является основой для моделирования различных эффектов, таких как дым, огонь, облака – любых жидких и газообразных сред. Чтобы обеспечить моделирование именно дыма, в решаемую систему необходимо добавить ещё две неизвестные скалярные величины — концентрацию c и температуру T дыма, который перемешивается и свободно распространяется вместе с основным газом. Именно эти величины в дальнейшем будут визуализироваться, в то время как газ считается бесцветным. Чтобы описать эту смесь из двух веществ, в введённую ранее систему добавляются два дополнительных уравнения адвекции, которые описывают процесс перемещения вещества в заданном поле скоростей и, как следствие, изменения его концентрации. После этого осталось дополнительно задать начальное распределение температуры и плотности дыма через также предоставленные аниматором функции:

И ввести обратную связь, чтобы тяжёлые клубы дыма опускались под действием силы тяжести, а потоки горячего воздуха восходили вверх – уже упомянутую силу Бузинеска. Для этого достаточно расписать функцию внешней силы следующим образом:

Где – сила тяжести, T_amb - температура окружающей среды, а α и β - положительные константы, определяющие интенсивность процесса распространения дыма. Решив данную задачу для отрезка времени , мы получим данные, достаточные для наложения требуемого спецэффекта.