15. Условия сходимости числовой последовательности. Критерий Коши.

[ Всякое мн-во F={(x;y)}, где xX и yY, такое, что xX! yY наз-ся функцией или отображением. В этом случае X – область определения функции, Y – мн-во ее значений ]

Всякое отображение , где X – некоторое мн-во, наз-ся последовательностью элем-тов мн-ва X. Если XR, то такое отображение наз-ся числовой посл-тью.

Посл-ть, мн-во значений кот-ой состоит из одного числа, наз-ся стационарной.

Так как числовая посл-ть – не симметричное мн-во, то для него не существует понятия четности, нечетности, периодичности. Зато сохраняются свойства, связанные с упорядоченностью.

Свойства числовой посл-ти:

1. Ограниченность:

   1. {x_n} ограничена сверху, если M=const: nNx_n<M

   2. {x_n} ограничена снизу, если M=const: nNx_n>M

   3. {x_n} ограничена, если или C = const: nN |x_n|<C, или a,b=const: nNa<x_n<b

2. Монотонность:

   1. {x_n} возрастает, если nNx_n<x_n+1

   2. {x_n} убывает, если nNx_n>x_n+1

   3. {x_n} не убывает, если nNx_nx_n+1

   4. {x_n} не возрастает, если nNx_nx_n+1

Число АR называется пределом числовой посл-ти {х_n}, если для  окрест-ти точки А такой номер N, выбираемый в зависимости от этой окрестности, что все члены посл-ти, номера кот-ых больше, чем N, принадлежат указанной окрес-ти:

∀>0 N(): n>N() x_n-A<.

Посл-ть, имеющая предел, наз-ся сходящейся; соответственно, не имеющая предела, – расходящейся.

Если  число А и N: x_n=An, то посл-ть {x_n} наз-ся финально постоянной.

Посл-ть {x_n} наз-ся фундаментальной, если >0 NN: n>N, m>N |x_n–x_m|<.

[ ЛЕММА о вложенных отрезках: для  посл-ти I₁I₂I₃ …I_n … вложенных отрезков  точка сR, принадлежащая всем отрезкам. Если, кроме того, известно, что >0 в послед-ти можно найти отрезок I_k, длина которого |I_k|<, то с единственная точка всех отрезков ]

ТЕОРЕМА:Критерий Коши:

Числовая посл-ть сходится  она фундаментальна. □| Пусть . Док-ем, что она фундаментальная.

По определению предела числовой посл-ти: ∀>0 N(): n>N() x_n-A</2.

Возьмем m,n>N().

|x_m–x_n|=|x_m–A+A–x_n|≤|x_n–A|+|x_m–A|<ε/2+ε/2=ε, т.е. по определению посл-ть фундаментальная. | Пусть {x_n} фундамент.посл-ть. Док-ем, что она сходится. По определению фундаментальности числовой посл-ти: >0 NN: k>N, m>N |x_k–x_m|</3.

Зафиксируем номер m=N+1. Тогда для k>Nx_N+1–ε/3<x_k<x_N+1+ε/3 (1)

{x_n} ограничена, т.к. имеется лишь конечное число членов посл-ти, не удовлетворяющих этому неравенству. Для nN положим (посл-ть {a_n} не убывает) и (посл-ть {b_n} не убывает). Тогда a_n≤ a_n+1≤ b_n+1≤ b_n. Получили посл-ть вложенных отрезков [a_n,b_n], кот-ая по лемме о вложенных отрезках имеет общую A, т.е. nNa_n≤ A≤ b_n.

Для k≥n . При k≥n |A–x_k|≤ b_n–a_n.

Из (1) следует, что при k>N выполняется неравенство:

.

Отсюда |b_n–a_n|≤x_N+1+/3– x_N+1+/3=2ε/3<ε. Т.е. получили, чтодля ∀>0 N: k>Nx_k–A<. Тогда по определению

Пример: «Отрицание критерия Коши»:

>0: NNm>N и n>N: |x_n–x_m|.

1) x_n=(–1)ⁿ

|x_N+1–x_N+2|=2=. По критерию Коши предел не существует.

2) x_n=1+1/2+…+1/n

|x_2n-x_n|=|1+1/2+…+1/n+1/(n+1)+…+1/(2n)–1–1/2–…–1/n|=|1/(n+1)+…+1/(2n)|= =1/(n+1)+…+1/(2n)>n1/(2n)=1/2. Т.е. посл-ть не является фундаментальной, т.е. она расходится.

Другой вариант определения фундаментальной посл-ти:

>0 NN: n>N, p>N |x_n+p–x_n|<.

ТЕОРЕМА Вейерштрасса:

Для того, чтобы неубывающ посл-ть имела предел  что бы она была ограничена сверху.

□Необходимость: Пусть посл-ть сходится.  сходящаяся посл-ть ограничена.

Достаточность: Пусть {x_n} ограничена сверху   по определению sup: >0 x_N{x_n}: s–<x_Ns. По условию посл-ть {x_n} неубывающ n>N имеет место нер-во: s–<x_Nx_ns<s+. Откуда |x_n–s|<. Т.е. по определению .

Замечание: аналогичную теорему можно док-ть для невозрастающ посл-ти, ограниченной снизу. В этом случае .

Пример:

Докажем, что , где q>1.

Найдем отношение: (1)

N: n>N 

Посл-ть {x_n} снизу ограничена нулем  у нее существует предел.

Из (1) имеем: (2)

Перейдем к пределу при и обозначим: .

Из (2) при : , откуда A=0, т.е. .