7.Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.

Опр.сис-ма лин-х ур-й наз-ся однородной, если в каждом уравнении свободн. коэффициенты =0. (1) Свойства:1.Однородн. сис-ма всегда совместна , т.к имеет нулевое решение, которое называют тривиальным. 2.Однор. система с n неизвестными имеет нетривиальное решение rang А меньше n.

3.Однор. система с квадратной матрицей имеет нетривиальные решения, когда определитель матрицы А равен нулю.

Р/м свойства решений систем линейных уравнений с точки зрения лин. пространства. Пусть дана однор.сис-ма . Каждое решение этой системы есть n-ка чисел, а след-но вектор из прост-ва .

Теорема: Мн-вовсех решений линейной однородной системы (1) явл-ся лин. подпр-вом прос-ва .

Док-во: Для док-ва восп-ся критерием подпространства(Кр. подпр-ва: Для того чтобы непустое подмн-во прост-ва явл-сь его лин.подпр-вом необх. и дост., чтобы ). Пусть – решение системы (1) => Берём лин. комб-ию этих 2-х векторов и проверяем явл-ся ли она реш-ем системы (1).

Тогда по критерию, мн-во всех реш-ий системы (1) явл-ся лин.подпр-м.⬛

Опр. Линейным подпр-вом простр-ва Rⁿ назыв-ся непустое мн-во , если оно само явл-ся лин-ым простр-вом, относ-но операций, определенных в Rⁿ.

Опр.произвольный базис подпространства L решений однородной сис-мы наз-ся фундаментальной системой решений ФСР. Фунд. сис-ма решений лишь в том случае, если сис-ма имеет не тривиальн. решение. Фунд. сис-ма, как и базис не единственны, но так же как базис имеет всегда одно и тоже число векторов (размер-ть).

Теорема Размерность подпр-ва решений однородной сис-мы (1) равна n-r, где n- число неизвестных r –ранг матрицы сис-мы.

Док-во Построим ФСР. Пусть -главные неизвестные, а -свободные неизвестные. Дадим свободным неизвестным значения (1,0,0,..,0) (0,1,0,..,0)… (0,0,..,0,1). для каждого из этих наборов найдем соотв. значения главных неизвестных т.е получим (n-r) решений системы (1).

, , …,

Эти решения линейно независимые, т.к. матрица составленная из их координат имеет ранг равный n-r, т.к. содержит минор n-rпорядка отличного от 0. Но по определению базиса этого недостаточно, нужно, чтобы любое решение сис-мы (1) являлось линейной комбинацией векторов .

Док-м это: Составим матрицу из координат векторов и .

Ранг этой матрицы не меньше чем n-r, но он и не больше чемn-r, т.к.пользуясь элементарными преобразованиями можно получить в последнем столбце в строках с n-rпоnнули. т.е ранг с =n-r. По теореме о базисном миноре (формулировка: Базисные строки и столбцы линейно не зависимы. Любая строка или столбец матрицы являются линейной комбинацией базисных строк или столбцов) последний столбец м.б. представлен в виде линейной комбинации базисных столбцов. - фундаментальная сис-ма решений и она содержит n-rвекторов. =>dimL=n-r. чтд.

Построенная таким образом фундаментальная сис-ма решений наз-ся нормальной. Фундаментальная сис-ма решений однородных уравнений позволяет записать любое решение в общем виде:

, , .