11.1 Уравнения кривых второго порядка. Приведение к каноническому виду.

Пусть Оху – аффинная сис-ма корд-т на плоскости.

Алгебраической линией второго порядка наз. линия, определяемая ур-ем: F(x,y)=0, где F(x,y)=a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²+2a₁₃x+2a₂₃y+a₃₃ (алгебраический многочлен второй степени), причем

a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²+2a₁₃x+2a₂₃y+a₃₃=0 (1)

a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y² – квадратичная часть ур-я или группа старших слагаемых; 2a₁₃x+2a₂₃y+a₃₃ – линейная часть, a₃₃ – свободный член.

Эллипс, гипербола и парабола явл. алгебраическими линиями второго порядка. Исчерпывают ли они все мн-во алгебраических линий второго порядка? Найдем преобразование СК, чтобы (1) приняло более простой вид.

Вспомогательные понятия.

СледомA_nxn = ||a_ij|| наз. сумма элементов ее главной диагонали. trA = a₁₁+a₂₂+…+a_nn.

Характеристическим многочленом кв.матрицы А наз. ф-ция f( )=|A- E|, где Е-единичная матрица подходящей размерности

n=2 f( )=(- )²+(a₁₁+a₂₂)(- )+a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁

a₁=a₁₁+a₂₂=trA

a₀=a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁=detA

n=3 f( )=(- )³+a₂(- )²+a₁(- )+a₀

a₂=trA

a₁=

a₀=|A|

Главным миноромматрицы наз. минор, образованный строками и столбцами с одинаковыми номерами. В характеристическом мног-не матрицы второго порядка а₁- сумма главных миноров 1-го порядка, а а₀- главный минор 2-го порядка.

А в характер-ком мног-не матрицы 3-го порядка а₂- сумма главных миноров 1-го порядка, а₁- сумма главных миноров 2-го порядка, а а₀- главный минор 3-го порядка.

Две квадратные матрицы А и В наз подобными, если существует такая невырожденная Q: B=Q^-1AQ.

Теорема: о характеристических многочленах подобных матриц. Характеристич. Многочлены подобных матриц совпадают

Д-во: B=Q^-1AQ.

Рассмотрим |B- E|=|Q^-1AQ- |=|Q^-1AQ-

Следствие: У подобных матриц 2-го порядка совпадают следы и определ-ли, а у подобных матриц 3-го порядка совпадают следы, суммы главных миноров 2-го порядка и определитель.

Компактная запись общего ур-я алгебраической линии второго порядка

Введем обозначения

A= -матрица квадратичной части

b= -матрица-столбец линейной части

X= ур-е (1) имеет вид X^TAX+2b^TX+a₃₃=0 (2)

Заметим, что A=A^T, |a| ≠ B =

Т.е.B = . Числа I₁=trA, I₂=|A|, K₃=|B| наз. инвариантами второго порядка, а число K₂=сумме двух главных миноров второго порядка матрицы B

K₂= наз полуинвариантом.

Займемся преобразованием общего ур-я (2). Пусть оно задано в . Переход к новой системе координат в т. и преобразование базиса с некот. матрицей перехода назовем ее Q. При этом старые координаты связаны с новыми формулами: 1) ; 2) .

Пусть линия L в исходной СК задана общим ур-ем (2)

Теорема: При переходе к новому базису ур-е (2) преобразуется к виду: +2 + (3), где , .

Причем: 1) знаки инвариантовI₁,K₃- не изменяются

2) если обе СК ортонормированны, то инварианты I₁,I₂,K₃ и полуинвариант K₂ не меняются.

Д-во: Подставим в ур-е (2) выражение старых координат Х через новые X=QX`. Получим

(QX’)^TA (QX’)+2b^T(QX’)+a₃₃= X’^TQ^TAQX’+2b^TQX’+a₃₃= X’^TA’X’+2(Q^Tb)^TX’+a₃₃= X’^TA’X’+2b’^TX’+a₃₃.

Докажем 1-е. Согласно ур-ю(3) квадратичная часть этого ур. опред. A`=Q^TAQ.

Тогда I’₂ =|A’|= |Q^TAQ|=|Q^T||A||Q|= |A||Q|²=I₂|Q|², sgnI’₂=sgnI₂

Матрица В` соотв. ур-ю (3) будет иметь вид:

введем вспомогат-ую матрицу и заметим при этом, что и тогда ,

Докажем 2-е. Если оба базиса ортонормированны, то матрица перехода Q будет ортогональной (Q^T=Q^-1). При этом так же будет ортогональной, т.к A`=Q^TAQ=Q^-1AQ; B’= Q^TBQ= Q^-1BQ A’ и А, B’ и B – две пары подобных матриц для этих матриц будут совпадать следы и суммы главных миноров 2-ого порядка. ЧТД.

Теорема: При переносе начала координат в т.О`() общее уравнение (1) преобразуется к виду:

X’^TAX’+2b’^TX’+a’₃₃=0 (4), где b’=b+Aa, где а= , a’₃₃=a^TAa+2b^Ta+a₃₃. (Доказывается аналогично). В этом случае инварианты I₁,I₂,K₃не изменяются.

Теорема:о преобразовании общего ур-я линии второго порядка.Общее ур-е алгебраической линии второго порядка задано в прямоугольной СК переходом к другой декартовой СК можно привести к одному и только одному из след. 3-х видов:

1. 2) 3) ,

Д-во: Пусть Оxy- прямоугольная СК и линия L задана в этой системе общим у-ем

(1)

Покажем, что если а₁₂0, то поворотом СК можно привести квадратичную часть (1) к сумме квадратов. Поворот осей на угол  приводит к новому базису с матрицей перехода: - ортогональная матрица. Согласно доказанным теоремам при переходе к СК матрица А в квадратичной части преобразуется в А`.

.

, тогда . Тогда (1) в новой СК будет иметь вид:

(5)

При этом инварианты I₁,I₂,K₃и полуинвариант К₂останутся прежними.

Метод, использованный в доказательстве этой части, наз. методом вращения.

Покажем, что если в (5) содержится не нулевой квадрат какой-либо переменной, то параллельным переносом начала координат можно избавиться от 1-ой степени этой переменной.

.

, ур-е (5) преобразуется к виду (6)

Если предположить, что , тогда анал-но приведем (6) к виду (7) – это ур-ие есть ур-ие типа I.

Пусть или . Тогда ур-е (6) преобразуется к одному из видов:

Тогда выполнив замену соот-но , приведем последние два ур-я соотв к виду:

(8) – каждое из ур-й представляет ур-е типа II.

Ур-е (8) получено в предположении, что , если же , тогда из ур-я получаем (9) - уравн-е типа III

Докажем единственность: найдем инвариантыI₂ иK₃ для каждого из ур-ий I, II, III – типов

I: ,

II: ,

III: ,

Т.к.

- для ур-я типа I

а - для ур-я типа II

а - для ур-я типа III, то эти условия взаимоисключают друг друга и т.к. общее ур-е (1) и ур-я I, II, III имеют одинаковые инварианты I₂ иK₃(в силу доказанных ранее теорем), то общее ур-е (1) приводится только к одному из 3-х указанных типов. Ч.т.д.