72. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного диф-го уравнения. Методы Рунге-Кутты, оценка погрешности и сходимость методов Рунге-Кутты.

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного диф-го уравнения.

Будем рассматривать диф-е уравнение в векторной форме

,

(1)

где: -искомая вектор-функция; t-независимая переменная. Существует два класса методов для решения задачи (1): 1) семейство одношаговых методов(Рунге-Кутта); 2) семейство многошаговых методов.

Сначала рассмотрим одношаговые методы. Для простоты возьмем уравнение (1), где: ; t>0.

По оси t введем равномерную сетку с шагом  , т.е. рассмотрим систему точек . Обозначим через точное решение (1) , а через приближенные значения функций u в заданной системе точек. Уравнение (1) заменяется разностным уравнением

n=0,1,2,…, .

В окончательной форме значения можно определить по явной формуле Определение 1. Метод сходится к точному решению в некоторой точке t , если при, .

Метод сходится на интервале (0,t], если он сходится в любой точке этого интервала.

Определение 2. Метод имеет р-й порядок точности, если существует такое число р>0, для которого при , где: - шаг интегрирования; O-малая величина порядка .

Так как , то метод Эйлера имеет первый порядок точности. Порядок точности метода совпадает с порядком точности разностной аппроксимации исходного дифференциального уравнения.

Метод Рунге-Кутта

Предположим, что приближенное значение решения задачи в точке уже известно. Для нахождения поступают так:

1)используют схему Эйлера в таком виде

и отсюда вычисляют ;

2) воспользуемся разностным уравнением вида

(2)

откуда найдем значение . Далее подставим значение в уравнение (2). Тогда

где .

Будем рассматривать явные методы. Задаем числовые коэффициенты , , i=2,...,m; j=1,2,...,(m-1) и =1,2,...,m . Последовательно вычисляем функции

;

;

;

……………………………………………..

.

Затем из формулы находим значения . Здесь , -числовые параметры, которые определяются или выбираются из соображений точности вычислений.

При m=1 и =1 получается метод Эйлера, при m=2 получаем семейство методов (3)

где: ; ; y₀=u₀.

Семейство определяет явные методы Рунге-Кутта. Подставив нужные ₁ и ₂, получаем окончательную формулу. Точность этих методов совпадает с точностью аппроксимирующего метода и равна .Невязкой, или погрешностью аппроксимации метода (12.9) называется величина полученная заменой в (12.9) приближенного решения точным решением. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности ,

где:

Методы Рунге-Кутта сходятся и порядок их точности совпадает с порядком аппроксимации разностным отношением.

Теорема. Пусть правая часть уравнения (12.4) удовлетворяет условию Липшица по аргументу u с константой L, и пусть -невязка метода Рунге-Кутта. Тогда для погрешности метода при справедлива оценка

,

где: ; ; .

На практике обычно пользуются правилом Рунге. Для этого сначала проводят вычисления с шагом , затем - . Если - решение при шаге , а - при шаге , то справедлива оценка . Тогда за оценку погрешности при шаге принимают величину

.