71. Итерполяционные методы слау. Необходимое и достаточное условия сходимости итерационного процесса.

Интерполяционные методы решения СЛАУ.

] дана система (1) перепишем её в виде (2),

предположим (*), (**). Сложим (*) и (**) , , (3)

Общая схема методов простых итераций принимает вид (4) p=0,1…

Матрицу В можно рассматривать как оператор действующий на или как его матрицу в некотором базисе.

Теорема. Пусть в пр-ве зафиксирована некоторая норма причем согласованная с ней норма оператора , тогда исходная система (1) имеет единственное решение и при последовательность итерационных приближений (4) сх-ся к решению х, а погрешность р-ого приближения удовлетворяет оценке

Док-во: Если , то уравнение (3) имеет только тривиальное решение. Покажем это (3)

но тогда система (3) и следовательно система (1) имеют единственное решение

Пусть х решение системы (3). Зададим произвольное и вычтем почленно (3) из (4)

; p=0,1…

.

Замечание: условие может нарушаться при каком-нибудь другом выборе нормы. Однако сходимость сохраняется.

Необходимое и достаточное условие сходимости итерационного процесса решения СЛАУ.

Теорема. - линейный оператор. Последовательность простых итераций (1) сх-ся в произвольной норме при произвольном ∀ собственное значение оператора ℬ по модулю <1: = <1 (2). □ ] (2) выполняется, тогда λ=1 не явл. собственным значением оператора ℬ и тогда рав-во ℬ( )= выполняется только для , и следовательно, соответствующая система имеет только тривиальное решение, а неоднородная система совместна и определена, обозначим ее решение через , - = - погрешность. Сх-ть итерационного метода (1) равносильна тому, что . Зафиксируем некоторое и используем рав-во , тогда . Обозначим через , этот ряд заведомо сх-ся вне круга на комплексной плоскости λ. λ – λ = ℬ( ), или что то же самое –λ ℬ( ), λ , =-λ . Тогда явл. вычетом вектор-ф-ии , т.е. = , r> . Обозначим через =max , тогда подынтегральная ф-ия будет аналитической вне круга , т.к. оператор ∃ при всех λ: . Поэтому можно деформировать контур интегрирования, выбирая r= , , так, чтобы интеграл не изменился, тогда можем оценить = . Выберем настолько малым, чтобы число оставалось <1, тогда из последнего нер-ва следует при . ⇒ ] посл-ть простых итераций сх-ся при ∀ . Воспользуемся методом от противного, ] условие (2) не выполняется, т.е. ∃ номер k: . Выберем так, чтобы , а - собственный вектор оператора ℬ, соответствующий собств. значению , тогда , , - = ( - )= ( ) - = - = - , = . Отсюда следует, что , т.к. , получили противоречие, значит предположение неверное. Замечание1. Если , то и явл. решением системы . Замечание2. Алгоритм вычисления посл-ти может быть неустойчивым, если .

73. однородная трехточечная разностная схема для уравнения теплопроводности. Устойчивость, аппроксимация, сходимость.

однородная трехточечная разностная схема для уравнения теплопроводности

Рассмотрим ОДУ второго порядка

(1)

С краевыми условиями 1-го рода

(2)

Искать решение будем на Ур-ние (1) описывает неизм. во времени изм. температуры или концентрации некоторого вещ-ва. В 1-м случае стацион. ур-ния теплопроводности, во 2-м ур-ния диффузии. Если u(x) - температура

величина – тепловой поток. - коэфф. теплопроводности Задача (1) имеет единств. решение, если кусочно непрер., причем если ф-ция имеет в нек. точке разрыв 1-го рода, то в этой точке температура и тепловой поток должны быть непрерыв. Отношение краевых условий (2) заметим, что они могут иметь другой вид, а именно быть краевыми условиями второго или смеш. рода. Введем на [0;1] сетку любое разностное ур-ние на этом шаблоне будет иметь вид

(3) В общем случае коэфф. зависят от ф-ции k(x) и q(x), а также от шага h пока эти коэфф.неопределены Перепишем ур-ние (3) в виде

(4) Говорят что данная разностная схема однородна если ее коэфф. во всех узлах сетки для любых коэфф. ДУ (1) вычисляются по одним и тем же узлам. Если схема однородная, то у ее коэфф. b,a,d можно опускать индексы. Построить однородную схему можно если ввести в рассмотрение функционал

Определенные для любой кусочно непр. ф-ции на S=[-1;1] и выч. коэфф. схемы (4) след. образом ; ; ; ; Например : Для разрешимости задачи (4) дост. чтобы коэфф. d,b,a были >0, при этом решение можно найти методом прогонки. Вычислим погрешность аппроксимации схемы (4). Для этого будем считать ее однородной и введем след.обозначения:

(5)

v – решение исх. дифф. ур-ния (1)

Если потребовать выполнение условий:

;

Тогда построенная разностная схема будет иметь второй порядок аппроксимации.

Пример устойчивой схемы.

Рассмотрим разностную схему в виде , где - линейный оператор, - пр-во сеточных ф-ий

Опр.Разностная схема устойчива, если ∃ такая постоянная М>0, не зависящая от h и от вектора , что для решения имеет место нер-во для всех достаточно малых h.

Пример. Рассмотрим разностную краевую задачу: , , , Nh=1 (1). Определим оператор . ] - пр-во сеточных ф-ий, заданных во внутренних узлах сетки, . Выберем - вектор с (N-1) координатами; и , . Тогда оператор определим след. образом: ( )_i = – , и вместо первого ур-ия (1) получим ( )_i = (в точке), = (на векторе). В пр-ве сеточных ф-ий введем скалярное произведение ( )= . Оператор при таком задании скалярного произведения будет самосопряженным и положительно определенным. Значит, для оператора ∃ наименьшее (δ) и наибольшее (Δ) собственные значения, и этот оператор удовлетворяет след. условию: δЕ ΔЕ (в смысле действия на ∀ вектор Е)⇒δ . Для оператора можно вычислить δ и Δ в зависимости от h: δ= , Δ= эта норма согласована со скалярным произведением. Выберем h = ⇒δ=8. Т.к. оператор самосопряженный: , то . , учитывая, что δ=8, получаем . Из последних соотношений⇒ограниченность нормы обратного оператора. = , = , = , , а это и означает устойчивость.

Аппроксимация и сходимость

При решениие разностной схемы , i= , , (1) надо знать с какой точностью решение разностной схемы приближает решение исходной задачи , U(0)=1, U(1)=0 (2). Для оценки погрешности допускаемой при замене задачи (2) разностной схемы (1) сравнение решений этих задач производят в пр-ве сеточных фун-й H_h. Через U_h(x) обозначим значения фун-й U(x)(точного решения задачи (2)) на сетке W_h и тогда фун-я U_h(x)ϵH_h. Погрешность , - решение задачи (1), и подставляем в (1) при этом будем считать U(x)заданой ф-ей:

, , . Известно, что известна Величина - это невязка разностной схемы на решении. Говорят, что разностная схема имеет точность m-порядка или сх-ся со скоростью O(h^m), если ∃constm, что выполняется рав-во . Разностная схема имеет m-й порядок аппроксимации на решении

Устойчивость. Воспол-ся записью разностной схемы в виде , (1), (2) , ; . Перепишем ур-е (1) в матр-ой форме (3). Буд счит, что в-р имеет разм-ть N, т.е ; . Введем в рассм-ние N-мерное – пр-во сеточных ф-й и -лин-й опер-р, соотв-й матр. А. Тогда (3) переп-ся в виде: (4). ; -2 нормы в пр-ве . Буд говор, что разн схема (4) устойчива, если конст M>0, не зависящ от h и от выбора , что для реш-я ур-я (4) имеет место оценка (5). Разност схема (4) наз-ся корректной, если решения ур-я (4) для входных данных и если разн. схема уст-ва. Устойч-ть схемы (5) можно понимать как непрер. Завис-ть реш-я от входных данных , причем эта непр-я завис-ть равн-на по h. Если реш-е ур-я , то в силу лин. опер.: ; (6), т.е. малому изм-ию входн данных соотв. малое изм-ние реш-я, иначе происходит выброс. Схема(4) наз-ся разрешимой, если опер-р , тогда , тогда (7). Сравнивая (7) и (5),получ, что уст-ть разн. схемы означ равномерн по h огранич-ть обратного опер-ра . Схема неуст-ва, если норма опер-ра неогранич. возрастает при .

Краев усл-я рассматр-ые выше явл-лсь краев усл-ми 1го рода. Однако встреч-ся и краев усл-я 2го или смешанного рода. u’(x)= (x) - 2го рода, - смешанного рода. В таких краев усл-х нужно заменять произ-ную разн-ым опер-ом. Если обозначить -лин-ый разностн оп-р аппрокс-й производную, то краев усл-ие переп-ся в виде . Уточним для эт случая опред уст-вой схемы. Схема уст-ва, если для её реш-я справ-ва оценка , M₁ и M₂ = const, котор. Не зависят от h и от исход данных и

Связь устойчивости и аппроксимации со сходимостью.

Рассмотрим нелинейнную разностную схему:

(1)

Если эта схема устойчива и аппроксимир.исходную задачу, то она сх-ся. Устойчив+Аппроксим=> сх-ть. Покажем это:

,

(2)

Таким образом для нахождения погрешности мы получили новую разностную схему (2),(3) аналогичную разностной схеме (1) для . Если схема (1) устойчива т.е выполняется рав-во , то устойчива и схема (2) и (3)т.е: (4). Тогда, если и , то и и =>