70. Интерполяция функций. Интерполяционные многочлены Ньютона и Лагранжа. Погрешность интерполяции.
Интерполяция ф-й.
Интерполяция – востан.промеж значений ф-й по её известным значениям в узлах сетки.
] на [а;b] задана сетка (W): W= {a=x0<x1<..<xn=b} и ] в узлах сетки известны значения ф-и у(х): y0=у(х0),.., yN=у(хN)
хi |
x0 |
x1 |
x2 |
… |
xN |
yi |
y0 |
y1 |
y2 |
… |
yN |
Требуется построить интерполянту т.е такую ф-ю f(х), которая совпадает с у(х) в узлах сетки уi= f(хi), i=0,N (1)
РИСУНОК
Основная цель интерполяции, построить быстрый эконом.алгоритм для вычисления значений ф-и f(х) в промеж.точках(не в узлах сетки).
Два вопроса:
1)В каком виде искать интерполянту f(х)
2)И как оценить погрешность интерполяции.
Обычно
интерполянту ищут в виде линейной
комбинации некоторых базисных ф-й
f(x)=
,
{Ф0(х),
Ф1(х),..,
Фn(х)
}=B,
Ск=const.
Затем учитывают, что должно выполняться ус-е (1):
f(x0)=y0
f(x1)=y1
f(xN)=yN
(2)
(2) система линейных алгебраич.неодн.ур-й отност.коэф-в Cк. если n=N, то матрица этой системы квадратная, а определитель этой матрицы ≠0, тогда система:
∆=
≠0
Имеет единст.решение и интерполянта будет построена однозначна. В кач-ве базисных ф-й выбирают известные из курса алгебры бызисы просм-ва ф-и непрерывны на [a;b].
{1, t, t2,..}
{1, et, e2t,..}.
Интерполяционный многочлен Ньютона.
Опр:Назовем
разделенной разностью 1-ого порядка
отношение y(xi,
xj)=
Рисунок
2-ого
порядка отношение y(xi,
xj,
xk)=
,
аналогично можно ввести разделенные
разности ∀
порядка. Если P(x)
многочлен степени n,
то разделенная разность 1-ого порядка
– многочлен степени (n-1).
Разделенная разность 2-ого порядка
– мн-н степени (n-2),
а (n+1)
порядка разделенная разность будет
нулевой мн-н.
,
.
Продолжая аналогично, получаем
(1) Если рассматривать мн-н P(x),
как интерполяционный для f(x),
то их значения в узлах сетки совпадают,
а значит совпадают и разделенные
разности и вместо (1) можно записать
,
f
(2). В формуле (2) мы не можем определить
,
поэтому ее приближенно заменяют
последней известной разделенной
разностью
и получают формулу вида f
- интерполяционная формула Ньютона.
Замечание.
Если строится интерполяционный многочлен
степени n,
то
,
а значит
=0.
Интерполирование при равноотстоящих узлах сетки.
]
Значения ф-ии заданы на равномерной
сетке
,k=
] ф-ия задана значениями
.
Предположим, что точка интерполирования
нах-ся близко от начальной т.
.
Построим формулу Ньютона для узлов
f
,
причем в этом случае разделенные
разности считаются проще y(
)=
,
y(
)=
.
f
.
Введем переменную t
=
⇒
=th,
=(t-1)h,
=(t-2)h.
Подставляем в последнюю формулу f
-
интерполяционная формула Ньютона для
интерполирования ”вперед”. Если точка
интерполирования лежит вблизи конечной
точки таблицы или где-то справа от нее,
то узлы интерполяции следует выбирать
в обратном порядке:
f
- формула Ньютона для интерполирования
Интерполяционный многочлен Лагранжа.
В
ведем в рассмотрение полиномы Лагранжа
,
они удовлетворяют условию
(1)
(символ Кронекеля , 1если k=i,
0 если k
i).
Такой многочлен не трудно составить
(2).
Проверим,
что обладает свойством, возьмем
в точке
если
то не ноль, deg
Многочлен Лагранжа определяется единственным образом, предположим, что это не так, тогда
удовлетворяющий
условию (1), отсюда разность множеств
это
многочлен степени не выше n,
который образуется в 0, в n+1
точке
Значит это нулевой многочлен
.
Возьмем многочлен
в точке
принимает значение
,
а в остатке 0, поэтому интерполяционный
многочлен, можно записать в виде.
(3)
– называется интерполяционной формулой
Лагранжа.
Погрешность интерполяции.
Погрешность интерполяции в т. x обозначим через R(x)=f(x) – Ps(x), где f(x) – данная функция, Ps(x) – интерполяционный многочлен s-ой степени, x∊[xi,xi+1]
Теорема.
] f(t)
– функция, определенная на [
]
и имеющая непрерывную производную
некоторого порядка (s+1).
]
- произвольный набор попарно различных
точек из [
],
– значения функции f
в этих точках. Если Ps(t)
интерполяционный многочлен степени
s,
построенный по этим точкам, то погрешность
интерполяции имеет вид
ξ∊[
]
– некоторая точка. □ зафиксируем
произвольную т. t=
докажем
равенство (1) при
.
Если
- узел интерполяции, то (1) доказано. ]
не совпадает ни с одним узлом, введем
вспомогательную ф-ию: φ(t)
= f(t)
– Ps(t)
-
(2), причем k
выберем так, чтобы
=0.
0=
f(
)
– Ps(
)
-
⇒
k =
(3). Числитель
в (3) равен R(
),
R(
)
=
.
Ф-ия φ(t)
обращается в 0 в (s+2)
точках:
,
тогда φ′(t)
в (s+1)
точках, φ′′(t)
в s
точках , …, φ(s+1)(t)=0
хотя бы в одной т. ξ∊[
].
,
=(s+1)!,
φ(s+1)(t)=f(s+1)(t)
- k(s+1)!,
0= f(s+1)(ξ)
- k(s+1)!
⇒
,
подставляя последнее равенство в (4),
получаем, что погрешность R(
)
=
Оценка погрешности
.