68.Выпуклое программирование. Теорема Куна–Таккера.

Будем рассматривать задачу выпуклого программирования : выпуклые. ф-и на для . Обозначим область, которая определяет ое нер-во через либо пуста, либо выпукла. . Возьмем Рассмотрим Доказана выпуклость. Всей с-ме ограничений поставим в соответствие мн-во . Если не пусто, то выпукло и замкнуто. Если , то задача выпуклого программирования не имеет решений. Если и ограничено, то задача выпуклого программирования имеет решение.(по т. Вейерштрасса ф-я опр-на на компакте, огр-на достигает max, min). Если , неогр-но, то задача может иметь, а может и не иметь решение. Докажем одноэкстремальность задачи выпуклого программирования. Теорема. локальный min задачи выпуклого программирования яв-ся глобальным. Док-во. точка локального min, т.е. окрестность Предположим Рассмотрим на выпуклой комбинации при достаточно близких к нулю. Но это противоречит тому, что - точка локального min. Значит

Теорема Куна–Таккера. Достаточность.

область задачи выпуклого программирования – обл. допустимых значений, содержит внутреннюю точку, т.е. выполняется условие Слейтера: Тогда для того, чтобы было оптимальным решением задачи н. и д. чтобы неотриц. m- мерный вектор , такой что яв-ся седловой точкой ф-и Лагранжа Док-во: 1) Покажем, что

] Из нер-ва при предположении (*) Получили противоречие предположение неверно Значит Рассмотрим . Т.е. const – неотриц. При – справедливо при

2) Докажем, что - точка минимума. Т.к. то Верно для , т.е. - точка минимума.

Пример.Является ли задачей выпуклого программирования? 2x+y+1^2->min сист.огр.:x+y<=2; x+3y>=5. Ответ:Да. Линейная функция-выпукла( и вогнута одновременно), сумма выпуклых =выпуклая.

69. Канонические уравнения. Свойства гамильтоновых систем. Принцип Гамильтона.

Пусть механическая система с s степенями свободы описывается системой уравнений Эйлера–Лагранжа . (1.1)От системы (1.1) s уравнений второго порядка мы хотим перейти к системе 2sуравнений первого порядка. При этом исключение вторых производных осуществим не введением новых переменных r = , а введением обобщенных импульсов . Переменные q, pназываются каноническими. Пары переменных q_i, p_i, i=1,…,s, с одинаковыми индексами называются каноническими. Равенство подсказывает применить к Lпреобразование Лежандра по группе переменных . Стандартный вид Лагранжиана системы материальных точек представляет собой выпуклую квадратичную функцию относительно обобщенных скоростей. Поэтому преобразование Лежандра корректно и представляет собой также выпуклую квадратичную функцию относительно обобщенных импульсов. Результат преобразования H(t,q,p) называется функцией Гамильтона или гамильтонианом. H=<p, >-L(t,q, ), Где исключается по средством соотношения . Это уравнение разрешимо и можно выразить как вектор функцию переменных t, q, p: . Но тогда H(t,p,q)=<p,r(t,q,p)>-L(t,q,r(t,q,p)). (1.2)

Найдем теперь вид и из (1.2). Если , где e_i, i=1,…,s, орты, то , и . Аналогично, Отсюда и из уравнения (1.1) следуют канонические уравнения , (1.3)

Замечание 1.1.1. Функция Гамильтона Hпредставляет собой обобщенную энергию. В случае, когда Hне зависит от времени явно, она постоянна на решениях системы (1.3).

Замечание 1.1.2. Координата q_i является циклической в том и только в том случае, если

Доказательство. Следует из равенства .

Примеры: 1. Гармонический осциллятор. Напомним что уравнение гармонического осциллятора имеет вид : где w — частота колебаний. Испозьзуя равенство , , восстанавливается Лагранжиан . Выполняя преобразование Лежандра по находим

2. Система материальных точек. Лагранжиан системы n материальных точек с массами m₁….m_n имеет вид

.

Пусть . Тогда

Где А матрица диагональная с элементами ан диагонали λ₁= λ₂= λ₃=m₁/2,…, λ_3n=m_n/2. Обозначим , . Тогда

. (1.4)

В случае m₁=…= m_n =m получаем

Принцип Гамильтона

То, что лагранжиан составлен из K и U, характеризующих систему в целом, подсказывает существование принципа движения, который не зависел бы от выбора координат. Наиболее общая формулировка закона движения механических систем дается так называемым принципом наименьшегодействия (или принципом Гамильтона). В формулировке этого принципа механическая система характеризуется лагранжианом :

.

Тот факт, что функция Лагранжа содержит только q и , но не более высокие производные , … , является выражением того, что механическое состояние полностью определяется заданием координат и скоростей. Первоначальный вариант формулировки принципа Гамильтона не вполне корректен. Пусть в моменты времени t=t₁, и t=t₂ положение системы в конфигурационном пространстве характеризуется точками q₍₁₎ и q₍₂₎ . Тогда при движении системы точка q = q(t), t₁≤t≤ t₂, описывает некоторую кривую в конфигурационном пространстве, соединяющую q₍₁₎ и q₍₂₎. Эту кривую γ₀ принцип Гамильтона выделяет среди всех остальных, соединяющих q₍₁₎ и q₍₂₎ , условием, чтобы интеграл

, который в механике называют действием, достигал на γ₀ экстремума. Другими словами, чтобы γ₀ была экстремалью функционала S. принцип Гамильтона имеет большую ценность в связи с возможностью его обобщения на такие системы, где анализ всех сил не представляется возможным.

Теорема. Для того чтобы кривая γ:q=q(t) была экстремалью функционала S на множестве кривых проходящих через точки q(t₁)= q₍₁₎ ,q(t₂)= q₍₂₎ , необходимо и достаточно, чтобы вдоль кривой выполнялось уравнениеЭйлера-Лагранжа. Доказательство. Поскольку допустимые вариации в этом случае должны зануляться на концах интервала [t₁, t₂], то вне интегральный член дифференциала δS равен нулю. Поэтому из выполнения уравнения Эйлера- Лагранжа следует δS=0 . Обратное утверждение следует из основной леммы вариационного вычисления.