65. Условные математические ожидания относительно σ-алгебр и случайных величин.

Дано разбиение пространства , - задана на Ω. Тогда условным мат. ожиданием называется

Возьмем любое событие А из σ-алгебры порожденной этим разбиением: (D).

σ-алгеброй называется алгебра которая замкнута относительно счетного объединения.

Совокупность случайных событий будем называть разбиением если они удовлетворяют условиям:

1. (события попарно несовместны)

2. 

Найдем мат.ожидание условного мат. ожидания при условии события A:

.

Определение.

Пусть (Ω,𝒜, )-вероятностное пространство, ℱ⊂-подсигма-алгебра, ξ –случайная величина на Ω. Если случайная величина η-заданная на Ω, удовлетворяет аксиомам:

1. η-ℱ-измерима.

2. , то η-называется условным мат. ожиданием ξ относительно σ-алгебры ℱ: η:=

Если существуют интегралы , то говорят что ξ-суммируема.(Разость этих интегралов образует интеграл Лебега .)

Дана некоторая случ.велич. ξ, опрделенная на пространстве (Ω,𝒜, ) и дана подсигма-алгебра ℱ. Тогда случайную величину называют ℱ- измеримой, если σ-алгебра порождаемая случ.велич. 𝜉 является подмножеством ℱ: ⊂ ℱ

Случайной величиной ξ называется измеримое отображение вероятностного пространства (Ω,𝒜, )в измеримое пространство (ℝ, ℬ). Сигма-алгеброй порожденной ξ называют совокупность посных праобразов борелевских множеств:

Пусть K-совокупность открытых множеств, тогда сигма-алгебру порожденную этой совокупностью называют борелевской, а ее элементы борелевскими множествами.

Теорема единственности. Дано (Ω,𝒜, ) и ℱ⊂-подсигма-алгебра, ξ –суммируемая случайная величина. η-является ℱ-измеримой и удовлетворяет условию . Тогда η-единствнна.

Свойства

1. .Дано (Ω,𝒜, )- вероятностное пространство, пусть есть 𝒴 . Тогда = п.н.- прамидальное свойство.

2. п.н.

3. ξ и η-нзависимые, то есть независимы порожденные ими сигма-алгебры и , тогда п.н. ,

Условное мат.ожидане относительно случ.величин:

Пусть - -измерима. Тогда . преобразуем интегралы и сведем их к интегралам по прямой. Существует борелевское множество .

т.к.

Функция ξ, которая удовлетворяет равенству: может называться условным математическим ожиданием.

Теорема Даны две случ.велич. ξ и η, имеющие совместную плотность и конечные математические ожидания( то есть суммируемые)

Дана , где

Доказательство. Возьмем борелевское множество Составим

67. Модифицированный симплекс-метод.

Симплекс метод.Для реализации симплексного алгоритма необходимо знать: 1)нач допустимое базисное реш-е (в принципе, это произвольная угловая точка многогр реш-й) 2) способ перехода к не худшему допустимому базисному реш-ю (переход осуществляется от выбранной угловой точки к другой угловой точке, смежной с ней по ребру 3) признак опт-ти допустимого базисного реш-я.

Модифицированный симплекс метод.Даны матрицы А, Х, такие что ∃ их матричное произведение

Р-м задачу лин прогр-ия, записанную в канонич виде z=cx->max. С-ма совместна n>m, Для выражения m пер-ых через оставшиеся (n-m) пер-ых разобьем матрицу А на две подматрицы A=(B|N), где B не особенная(не вырожденная, неполного ранга. В соотв-и с таким разб матрицы А разобьем вектор Х:

Тогда ; ; ;

наз-ся вектором базисных пре-ых, - небазисных.

Допустимое базисное решение:

,

Преобразованная задача. В соотв-и с разб вектора Х разобьем вектор С: ,

Условие оптимальности:

Вектор D= назыв. Вектором относител-х оценок, размерность 1×(n-m) т.к он указывает на сколько изменится целевая ф-я z при изменении компоненты вектора . Выбирем из , При изменении (d- набор конкретныхчисел)=> ↑ компонент вектора. Если величина , то значение целевой фун-и не уменьш-ся, если - не увеличив-ся. Задача на max, признак оптимальности D≥0, а на minD≤0, признак допустимости

Теорема: Для того, чтобы допустимое базисное решение было оптимальным <=> чтобы ∃ такой базис для которого D≥0 в случаи задачи на max и D≤0 в случаи задачи на min.

Док-во:=>(дост)Соотношение справедлива для каждого ур-я , поэтому maxz при условии достигается при D≥0.

<=(необ): представляем целевую ф-ю индексам q, которые описывают небазисное решение. - мн-во индексов небазисных перемен. , . Док-ем необ-ть от противного. Док-я от противного мы делаем предположение ∀ . Рассмотрим 2 случая:а)] для некоторого ∃q:dq<0 и ] для этого индексы имеют место . Предположим от 0. Оставим все остальные небазисные переменые=0 z= и с ростом тогда значения растут. ↑ в силу предполож. то , => =>точка не яв-ся max. Если выполняется ус-е то целевая ф-я неограничена. б) ∃q: dq<0 и ∃! Компонента i . Увеличивая , то z= ↑(****) для того, чтобы , должно находиться в пределах: 0≤ ≤ в) ∃q:dq<0 ∃i: . В этом случае действ. Аналогично как в б) мы получаем (****) сохраняя при этом допустимость решения и увелич. при этом значения целевой ф-ции, если одна компонента dq<0, то решение неоптимальное. ч.т.д

Шаги модифицированного симплекс-метода.

1. Вычисление вектора-строки относительных оценок.

2. Выбор столбца вводимого в базис.

а) если , то реш-е оптимально

б)∃ отриц-ые небазисные пер, т.е. . Действую по схеме Данцига, выбираем для включения в базис ту пер-ую, которая имеет max по модулю отриц-ую отн-ую оценку. . После этого столбец вводится в базис, вводится в базис.

3. Выбор переменной, выводимой из базиса, и пересчет столбца, вводимого в базис .

Если для всех i вып-ся условие , то целевая ф-я не ограничена.

4. Операция переформирования.

A-матрица, x,c-вектора.

рисунок

Проблемы состоит не собственно в построении новых эл-ов , а в вычислении новой обратной матрицы .

Идея модифиц-го симплекс-метода состоит, во-первых, в исключении процедуры обращения матрицы, а, во-вторых, в исключительном прагматизме (перерасчет производится только для эл-ов, нужных для дальнейшего анализа).

Поскольку базисные матрицы двух соседних шагов отличаются только одним столбцом, построим новую