62. Сходимость почти наверное. Усиленный закон больших чисел.
]
(Ω,A)- измеримое пр-во (A=σ(Ω)).
]
- некот. ф-ия ξ:Ω→R
наз-ся случайной величиной, если она
осущ-ет измеримое отображение (Ω,A)→
(R,B)
или ∀B∈B,
A.
Где
B- борелевская
-алгебра
–
-алгебра,
порожденная совок-ю всех открытых
множеств на прямой. Рассмотрим послед-ть
случ. Величин
.
Будем говорить, что , если ℙ({W: })=0.
Будем говорить, что (по вероятности), если для ∀ε>0 ℙ({W:| >ε})→0 .
Теорема
1: ]
-
независ. случ. вел-ны с нулевыми мат.
ожиданиями
и ⅅ
=>∀ε>0ℙ(
)≤
- нер-во
Колмогорова.
Теорема
2 (О сходимости
ряда независ-х случ. вел-н): ]
-
послед. независ-х случ. вел-н,
, ⅅ
,
=>
.
Д-во:
Обозначим A={W:
}.
Докажем, что ℙ(A)=0.
Пусть
- частич. суммы. A={∃ε>0:∀N∃
}.Обозначим
для фиксир.
.
=>A=
.
Рассмотрим послед-ть
↓0.
A=
.
Послед-ть
возрастает => ее предел – это объединение.
Т.к.
=>
=>A=
.
Док-жем, что ℙ(
)=0
фикс. ε.
Введем
соб.
.
.
.
(=) монотон. возраст. по m
(=)
.
ℙ(
)<ℙ(
)≤
по Т1. ≤
.
При m→∞
(ост. сх-ся ряда).
Рассмотрим
-
убывает.
,
.
ℙ(
)=
=>ℙ(A)=0.
Ч. т. д.
Лемма
1: Дана
послед-ть
чисел => послед-ть
.
Лемма 2:
Дана послед-ть {
}:
=> послед-ть
.
Теорема
3(Усиленный закон больших чисел в форме
Колмогорова):
- послед-ть независ-х случ. вел-н с 𝔼
(или ⅅ
. Обозначим
=>
.
Д-во:
Обозначим
.
𝔼
,
ⅅ
.
По условию
=> по Т2. сх-ся ряд из случ. вел-н
.
=> по Л2.
=>
.
Ч. т. д.
Теорема: ] дана послед-ть { } и случ. вел-на ξ, определенные на одном и том же вероятностном пр-ве (Ω,A,Р) => справедливо след. утверждение:
=> .
Д-во:
.
Д-ть: ∀ε>0:
;
]
,
т.е. д-ть, что ℙ(
)
.
Введем
,
,
,
т.е.
=> по т. непрерывности
;
.
Т.к. по усл. ℙ({
)=0
=>
.
Из
=>-ет,
что
и
=>
.Ч.
т. д. .
63. Характеристическая функция и ее применение для вычисления моментов
Пусть
(Ω,A) - измеримое пространство. Пусть ξ
- некоторая ф-я,
.
Функция ξ называется случайной величиной,
если она осуществляет измеримое
отображение (Ω,A)→(R,Β),
т.е.
B
A,
где B - борелевская сигма-алгебра, т.е.
сигма-алгебра, порожденная совокупностью
всех открытых множеств на прямой.
Пусть
- произвольная случайная величина,
определенная на (,A,).
Характеристической ф-ей случайной
величины ξ наз-ся ф-я
,
.
Производящей
ф-ей целочисленной случайной величины
ξ наз-ся ф-я
,
ξ принимает значения
…,
,
,
.
Пусть дана случайная величина кси тогда ее характерестической функцией будет являться функция
h_кси(t)=E(exp(itкси)), t из R
Связь
между производящей и характеристической
функциями:
.
Свойства характеристической функции:
1)
;
□
⇒
.
.
2)
равномерно-непрерывна
на R.
□
Пусть
- произвольное малое число.
,
т.к. не зависит от t.
⇒
3)
,
т.к.
-
n-ый
момент
-
абсолютный n-ый
момент
-
центральный n-ый
момент
-
k-ый
факториальный момент
4)
Если
,
то
n
раз дифференцируема и
⇒
Неравенство
Ляпунова: Пусть
- числа и пусть
⇒
и
.
□
4):
В виду неравенства Ляпунова все моменты
ξ конечны:
∀
.
По
индукции: 1. Докажем, что
.
Рассмотрим
Рассмотрим
(по лемме: для
и
)
.
⇒
⇒
(Теорема
Лебега:
,
,
при
этом
и
кроме того
)по
теореме Лебега о переходе к пределу
под знаком интеграла получим при
:
.
2.
Предположим, что для
верно, т.е.
.
3.
Докажем для
.
(по
предположению)
.
5)
Следствие:
⇒
.
6)
Пусть
- независимые случайные величины. Тогда
.
Теорема Бохнера:
Пусть
- непрерывная функция, определенная на
R,
.
Тогда
- характеристическая функция ⇔
неотрицательно определена.
Пусть
- случайная величина и μ – ее мера (т.е.
неотрицательная счетно-аддитивная
функция). Тогда
.
Пусть
A – некоторая сигма-алгебра. Пусть
последовательность
A
– попарно несовместные множества.
Обозначим
.
A
⇒
наз-ся счетно-аддитивной, если
,
μ(Ø)=0.
,
где (Ω,A,P)
– вероятностное пространство и
- измеримая функция.
64. Центральная предельная теорема для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин.
ТеоремаПусть
последовательность одинаково
распределенных с.в., 𝔼
,
ⅅ
тогда для
имеет место следующ. соотношения:
аb
Т. Е. (S_n-n*a)/сигма*sqrt(n)->d N(0,1)
док-во:
Покажем, что
(по
распределению) (
опр
(по распределению), если
(слабо) , где F-функции
распределения
опрпоследовательност
ь,
определенная на (
)слабо
сходится к
определен. на том же пространстве , если
для любой непрерывной и ограниченной
на R
функции f
выполняется
,
где -с.в.
имеющая стандартное нормальное
распределение. Введем характеристич.
функ-ю h(t)
для
с.в.
.h(t)=𝔼
,
тогда
,
.
Разложим h(t)
в ряд Тейлора
в окрестности 0: h(t)=1+h’(0)t+
+o(
),
h’(0)=0,
h’’(0)=
,
ⅅ
,
h(t)=1-
,
h(
)1-
Обозначим
,
зафиксируем t,
,
.