60. Аппарат производящих функций. Преобразование Лапласа.
Рассмотрим
случ вели-ну
со значен-ми
.
Опр-е.
Вероятностной производящ функ-ей
называется сумма степеней ряда
сходящ-ся равномерно внутри круга
.
Св-ва:
1) Функция
,
где
– мн-во аналитич функций и
.
2)
.
3)
.
Между распр-ем вер-ти на
и производящ функц-ми есть взаимно-однозначное
соотв-е
.
4)
Даны две независ
,
тогда
.
5)
Дано
- независ, одинаково распред,
, тогда
6)
Пусть
- независ, неотрицат целочисл случ
велич, все
-
одинак распредел. Обознач через
,
тогда
Док-во:
.
– выпуклая,
)-𝔼𝜉.
Пример:
Найти
пуассоновского распр-я.
Бернулевск
распр-е
Биномиальн
распр-е
.
Преобразованием
Лапласа
неотрицательной случайной величины
наз-ся функция
.
Св-ва:
1) в правой
полуплоск-ти (
)
функция
явл-ся аналитической, т.к. интегр сх-ся
равномерно, значения приним в единичн
круге. 2)
.
3)
Пусть
- независ неотрицат величины. Обознач
через
если одинак распредел, то
.
4)
Пусть
независ, неотриц,
- одинак распредел случ велич,
– целочисл,
.
5)
6)
,
функция
явл-ся убывающ.
.
- вполне монотонн функция в обл-ти
.
7)
Устремим
,
если предел существ.
.
8)
.
.
9)
.
10)
- производящ функц-я моментов.
.
Усл-я
сущецствован производящ функц: 1)
Функция аналитич в прав полупл-ти
2)
3)
.
Некоторые
производящие функции распр-ий:
бернуллиевское распр-е
;
биномиальное распр-е
;
пуассоновское распр-е
;
геометрическое распр-е
.
Это
доказательство для неубыв. функции,
если g(x)
не возрастает,
тогда
и повторим док-во, получим требуемое.
61.Сходимость по вероятности. Закон больших чисел в форме Чебышева и в форме Хинчина.
Опр
Последовательностьслучайных
величин
сходится
по вероятности к случайной величине
ξ(
),
если ∀ε>0
ℙ({W:|
>ε})→0
при n→∞
Опр
(почти
наверное) если ℙ({W:
})=0
Опр
(в
среднем порядка p),
p>0,
если 𝔼
Опр
(по распределению), если
(слабо)
, где F-функции
распределения
опр
последовательность
определенная
на (R;β)слабо
сходится к ξ
определен. на том же пространстве , если
для любой непрерывной и ограниченной
на R
функции f
выполняется
Теорема Пусть , ξ-случайные величины определенные на одном и том же вероятностном пространстве, тогда
1.если
то
2. если , то
3.
если
,
то
Пусть
-
случайн. величина, для любого
выполняется неравенство
Чебышева ℙ(|ξ-𝔼ξ|≥ξ)≤
док-во
воспользуемся нер-вом Маркова
ℙ(ξ≥ε)≤
;ℙ(|ξ-𝔼ξ|≥ξ)≤
;
ℙ(|ξ-𝔼ξ|≥ξ)=
ℙ(
≥
)≤
=
.
Физический
смысл неравенства Чебышева:
если
,
то вероятность того, что
отклонится от Е
- мала. где D-разброс
отклонения
от своего Е.
Теорема Закон больш. чисел в форме Чебышева.
Пусть
последовательность
независимых случайных величин с
равномерно ограниченными дисперсиями.
∀n=1,2,..
Пусть
тогдаℙ(|
|≥ε)→0
при n
Док-во:
ℙ(|
|≥ε)≤
воспользуемя
неравенством Чебышева ≤
ч.т.д.
Закон
больших чисел в форме Хинчина. Дана
посл-ть незав, один-во распр величин
.
,
.
Тогда средн арифм-ое случ величин
Док-во:
методом характер-их ф-ий. Обозначим
Возьмём
и
0 + 1- 1 = 0