58. Вычисление математического ожидания функции от случайной величины.

Случайной величиной наз-ся числовая ф-ия, зависящая от случ-го эксперимента. .

Опр.: Величина, которая в результате испытания принимает значения,

зависящие от исхода испытания, называется случайной величиной

Опр.: Совокупность множ-в Aназывается алгеброй, если

1)ΩA; 2)AA A; 3)A,BAABA

Опр.: Совокупность множ-в Aназывается - алгеброй, если

1) A - алгебра; 2) для послед-ти множ-в . Пусть сл. вел. опред-ая на ; , тогда явл-ся F – измеримой, если совокупность всех прообразов борелевских множеств. ={^-1(B), BB)}

Теорема(об аппроксимации): пусть , определ-ая на нек-ом вер-ом пр-ве , тогда послед-ть неотриц-ых простых измеримых сл. вел.: .

Пусть дано вер-ое пр-во и измеримая ф-ия - случайная вел-на.

Теорема: пусть - случайная вел-на определенная на , пусть - распред-ие, порожденное сл. вел. . Дана ф-ия g:R→R – борелевская ф-ия и одновременно и равны .

д-во:

1. g – измеримая ф-ия относ B, g(x) = , ВB. р/м - измеримая ф-ия(простая). .

2. Если g(x) простая сл. вел. её можно записать как лин-ую комб-ую индикаторов. Для кажд. из индикаторов т. д-на и св-ва лин. индик. с помощью кот-ых док-ем для пр. сл. вел.

3. - не отриц. По теор. об аппроксимации послед-ть неотриц-ых борелевских ф-ий, кот. сх-ся к g: и для каждой из них Т. док-на - простые ф-ии .

4. Пусть g – произвольная; . Для них теорема д-на, а в виду линейности теор. справедлива и для g(x) ч.т.д.

Р/м сл. вел. с распред. ; обозначим - интеграл Лебега – Стилтьеса.

Если ступенчатая мера нах-ся в точке мера расположена только в т-ах разрыва и равна величине скачков. Обозн. - т-ки разрыва, - величина скачков в этих т-ах. - атомарная мера. . Пусть ф-ия - абс-но – непр-на плотность

Теорема 2: пусть - сл. вел-ны, определ-ые на одном и том же вер-ом пр-ве. . Пусть - их совместное распред-ие. Пусть борелевская ф-ия следующ-ие два интеграла -ют одновременно и равны ,

и

пусть - две сл. вел-ны - совместн. плотн.;

59. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Коэффициент корреляции. Уравнение линейной регрессии.

Случайной величиной наз-ся числовая ф-ия, зависящая от случ-го эксперимента. .

Пусть - сл. вел., принимающая знач-ия - разбиение (т.е. и . Тогда мат. ожиданием сл. вел. наз-ся: .

Дисперсией сл. вел-ны наз-ся: -среднеквадр-ое отклонение.

Св-ва дисперсии:

1. Если

2. ф-ла для нахожд. дисп-ии:

3. 

д-ва:

1. =0 по св-ву

2. =

3. .

Дисперсия – мера разброса сл. Вел.

Теорема: Пусть нез-ые сл. Вел. (т.е. нез-мы разбиения, порожденные этими сл. Вел.), то

д-во(по индукции):

1. n = 2.

2. n=k-1 верно

3. д-ем для n=k.

р/м:

ч.т.д

Если и незав-ые сл. Вел-ны, то , где

- нез-ые сл. Вел., если нез-мы разбиения, порожденные этими сл. Вел.

Пусть - сл. Вел. – числовая ф-ия, зависящая от случ. Эксперимента. , .

где - знач-ия сл. Вел.; - разбиение.

=

р/м и , - безразмерная вел-на – нормир-ая сл. Вел-на.

Опр: коэф. Корреляции .

Св-ва :

1. 

2. 

3. 

4. Если и незав-мы, то такие вел-ны назыв-ют некоррел-ми.

5. 

Д-во:

если . для опр-ти.

лин. Завис-ть.

Р/м - наблюд-ые сл. Вел-ны; - оцениваемая сл. Вел.; Нужно подобрать такую лин-ую комб. , кот. Близка к , т.е. . - скал-ое произв. Если и наз-ся ортогональными . Имеется сист-ма сл. Вел. - ортонормир. Задача подобрать ;

достигается, если Обозн. - оптимальная лин-ая комб. среднеквадратичная ошибка. Р/м задачу, когда наблюд-ая сл. Вел-на одна. Найдем для оценки . и - ортогональны. Восп-ся общим случ-ем:

- Ур-ие регрессии на .

Среднеквадратичная ошибка: