57. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

Рассмотрим простую случайную величину. Под случайной величиной будем понимать функцию, определенную на пространстве элементарных исходов и принимающую числовые значения: .

Пусть - случайная величина, которая принимает значение с вероятностью , тогда мат. ож-ем сл-й в-ны называется

Свойства мат.ожидания:

1.)Пусть есть простр-во элементарных исходов и дано его разбиение

Док-во: ,

, ,

Р/м мн-во

2)

3) Аддитивность:

4) Монотонность: если , а .

5) Однородность:

6) Если бореллевская ф-я

7)

Док-ва: 3)

4)

5)

Рассмотрим

6) Пусть принимает зн-я и

Тогда

Т.: Пусть - нез-е сл-е вел-ны, тогда

Опр.: интегралом Лебега простой сл-й в-ны наз. ,

где – некоторая мера, опред-я на изм-м пр-ве ( . Считаем, что .

Св-ва: 1) Линейность; 2)Аддитивность;

3) Однородность;

4) Монотонность:

Тогда, для верно:

Пусть – неотр-я -измер-я сл-я вел-на и пусть – посл-ть простых сл-х ( ) вел-н, тогда под инт. Лебега будем пон-ть (предел возр-й посл-ти всегда сущ-ет, он может быть равен ). Чтобы опр-е стало корректным, докажем, что предел не зависит от выбора аппроксимирующей посл-ти.

Т.: ] - неотр. простые в-ны. Посл-ть явл. возр-й и сх-ся к , причем , тогда

.

Докажем, что предыд-е опр-е корректно:

– посл-ти неотр. простых ф-й, кот. сх-ся к , и . Тогда для фикс. => по предыд. т-ме и

Т.к. и симметричны, то для фикс. n

=>

=>

Т.о. корректность опр-я доказана.

Пусть – произв-я измеримая ф-я и хотя бы один из инт-лов в правой части кон-н, тогда . Если кон-ны оба интеграла, то вел-на наз. суммируемой.

Св-ва инт. Лебега:

1) Если сущ-т и , то сущ-т

2) Если ф-ции и суммируемы, то их сумма также суммируема

3) Монот-ть: пусть и сущ-ют и , тогда

4) Пусть сущ-т, тогда

, причем если – суммируема, то тоже суммируема.

5) Если суммируема и , то тоже суммируема.

Интегралом по мн-ву называется

Св-ва почти всюду:

1)

2)

3)

4)

5) Если , то конечна

Пусть дано вер-ное пр-во и на нем определена сл-я вел-на , тогда

. Если этот инт-л не сущ-ет, то говорят, что не опр-но, а если он равен 0, то бесконечно.

Т. об аппроксимации:Пусть дано вер-е пр-во , на кот. опр-на сл. в-на , тогда – посл-ть простых неотр-х -измеримых сл-х вел-н, которые монотонно стремятся к , т.е. .

Сл-е: Пусть – произв-я сл-я вел-на и для нее сущ-т посл-ть -измеримых сл-х вел-н: . Применив т-му для каждой из них получим, что сущ-т посл-ть .

Опр. Сл-я вел-на наз. простой, если она принимает кон-е число зн-й: