49. Теорема Рисса об общем виде непрерывного линейного функционала в гильбертовом пространстве

Лин-ое пр-во L над полем действ или комплек-х чисел наз-ся нормиров-ым, если кажд эл-ту (сопост-но неотриц число), которое наз-ся нормой эл-та х, причем справ-вы след аксиомы: 1. , .

2. , . 3. , если .

Скаляр-е произ-е в лин пр-ве L – это действительная ф-я, определенная для каждых , удов-щая условиям: Линейное пр-во с заданным скаляр-м пр-м наз-ся Евклидовым пр-м. В этом пр-ве норма вводится следующим образом: .

М наз-ся метрич. пр-вом, усли сущ. ф-ия ρ:M*M→R, для кот. верно 1) ρ(x,y)≥0, ρ(x,y)=0↔x=y 2) ρ(x,y)= ρ(y,x) 3) ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ ρ(z,y) Пример: числовая прямая с ρ(x,y)=|x-y|.

Послед. {x_n}M наз-ся фундаментальной, если для люб. ε>0 сущ. N: для люб. n, m>N ρ(x_n, x_m)<ε

Если в метрич. пр-ве M люб. фунд. послед. сх-ся, то M-полное метрич. пр-во

Полное евклидово бесконечно-мерное пр-во наз-ся гильбертовым пр-м Н

L-лин.пр-во, f:L→R наз. лин. функционалом, если для люб. x,yL и люб. a,bRf(ax+by)=af(x)+bf(y).

Нормой ф-ла наз. величина ||f||=sup|f(x)|/||x|| по x≠0. Ф-ал непр. в x₀, если для люб. х_n→x₀f(х_n)→f(x₀).

Теор: Лин-ый ф-ал непрерывен в каждой точке  когда он непрерывен в точке 0.

Лемма: Пусть f H₀ ={x : f(x)=0}=> сущ-ет вектор x₀ H: || x₀||=1: (x_0,x)=0 для любого x H₀ для любого x H найдется y H₀ и α R : x=αx₀ +y

L-лин.пр-во, L^*={непр. лин. ф-лы на L}. Если f,gL^* для люб. х (f+g)(x)=f(x)+g(x) и для люб. λ из Rf(λx)= λf(x), то пр-во L^* наз-ся сопряженным.

Теор. Рисса об общем виде лин. ф-ла в гильб. пр-ве: H-гильб., тогда для люб. непр. ф-ала f из H* найдется ! вектор y H: для любого x H : f(x)=(y,x), при этом ||f||=||y||. Обратно: для любого y H фун-ал f(x)=(y,x) H* и ||f||=||y||.

Док-во: Пусть y H и f(x)=(y,x). Покажем, что f ограничен. |f(x)|≤(по нер-ву Коши-Буняковского |(x,y)|≤||x|| ||y||)≤||y|| ||x||, т.е. f–огранич. ||f||≤||y||, |f(y)|= |(y,y)|=||y||²=||y|| ||y||, следоват. ||f||=||y||=> ф-ал непрерывен. Пусть задан лин. непр. ф-ал f H^* . H₀={x:f(x)=0.Пусть x₀ _|_ H₀ ,||x₀||=1. Для любого x из H сущ-ет y₀ H₀ и α R: x=y₀+ α x₀ (по лемме) Пусть y=f(x₀) x₀ Проверим что y удовлетворяет нужным условиям f(x)=f(y₀)+ αf(x₀)= αf(x₀) т.к. x₀ из H₀. (y,x)=( f(x₀) x_{0 ,} y₀+ αx₀)=f(x₀)( x_0,y₀)+αf(x₀)||x₀||²= αf(x₀). Т.о. f(x)= (y,x). чтд

56 Функция распределения случайной величины. Много-е распределения.

мера на-ся борелевской, если она опр-на на борелевской -алгебре

Дано пространство элементарных исходов. Совокупность подмножеств наз-ся алгеброй, если удовл-ет след-м свойствам:

1)

2) замкнута относ. доп-я

3) замкнута относит-нообъединения:

Совок-ть множеств пр-ва называется -алгеброй, если она является алгеброй и замкнута относ-но счетного объединения, т.е. если дана некоторая посл-ть

Пусть – совок-ть открытых интервалов на прямой, тогда ( ) наз-ся борелевской.

Пусть - некоторая -алгебра подмн-в , тогда ф-ция , зад-я на и действ-я на наз. аддитивной, если

Ф-я мн-в наз-ся счетноаддитивной или -аддитивной, если для любой вып-ся

Мерой наз. неотр-я -аддитивная ф-я мн-в

1)

2) , то мера наз. конечной

3) -вероятностная мера

4) мера наз. -конечной, если и

Св-ва меры: 1) ; 2) A⊂B⇒μ(B\A)=μ(B)-μ(A); 3) μ(B\A)=μ(B)-μ(AB);

4)A⊂B⇒μ(A) μ(B); 5) μ(A⋃B) =μ(A)+μ(B)-μ(AB);

Теорема1.: Пусть - некоторая -алгебра подмн-в и пусть – неотр-я аддитивная ф-ция, зад-я на , т.е. , тогда будет -аддитивной <=>

вып-ся

Сл-е(непрер-ть меры): дано пр-во с мерой (𝜴,𝓐,μ) и монот-я посл-ть .

_{ТЕОРЕМА«О единств}-ти продолжения меры с -системы». Пусть дана - -система подмн-в , – порожденнаяэтой системой -алгебра ( т.е. ), и - 2 меры, заданные на этой -алгебре, такие что , и пусть эти 2 меры совпадают на этой -системе, т.е. .Тогда эти меры совпадают на -алгебре , т.е. Теорема Каратеодори: Пусть - алгебра подмн-в и – неотр-я счетноаддитивная ф-ция мн-в(мера), тогда , опред-я на . Причем при такое продолжение.

Обозначим через

Свойства

– монотонно возр-ет:

⇒μ( ) μ( )⇒F( ) F( )

2) ф-ция непрерывна справа (полунепрерывна) и существуют пределы слева посл-ти {x_n}, .

док-ть: . Обозначим

ввиду непрер-ти меры пределы слева => из монотонности ф-ции

3) и если (т.е мера – вероятн-я), то док-ся на непрерывности меры

ТЕОРЕМА Дана ф-ция , опред-я на всей прямой, , неубывает, полунепрер-я справа, , . Тогда борелевская мера , опред-я на измеримом пр-ве ( , B): .

Док-во Для введем в рассмотрение ф-ю . Совокупность полуинтервала явл-ся -системой, а ф-я определена таким образом, что явл-ся мерой, определенной на -системе.

Рассмотрим совокупность мн-в прямой, каждое из кот-х можно представить в виде объединения кон-го числа непересек-ся полуинтервалов. Совок-ть обладает всеми свойствами алгебры:

(продолжили μ на -алгебру). Эта ф-ция неотр-на и аддитивна. Воспользуемся условием σ-аддитивности.Рассмотрим . Докажем, что

Рассмотрим 2 случая:

1) Пусть все множества содержатся в некотором отрезке [-R, R] = Q. Каждое множество можно представить в виде

. Каждый из таких инт-лов уменьшим так, чтобы получить мн-во, которое будет содержаться в вместе со своим замыканием.

Обозначим через B_n такое подмн-во кот. сод-ся в вместе со своим замыканием. - замыкание . По условию , . .

Рассмотрим открытые мн-ва .

, т.е. компакт имеет счетное покрытие открытыми мн-вами => из этого покрытия можно выделить кон-е подп-тие.

но

Возьмем N. Докажем, что

= = =

т.к. мера убывает, то мера всех остальных , следующих за N, тоже =>lim=0 => непрерывна и значит счетноаддитивна

2) Общий случай

Пусть необязательно ограничены, . Зафикс. . Выберем число R:

мера отрезков

Обозначим . Р/м послед-ть

По пункту 1 для подпоследовательности = + ф-ция определенная на алгебре является счетноаддитивной в виду непрерывности, т.е. является мерой. Применяя т.Каратедеори получим меру на

По теореме о единственности продолжения меры с -системой такая мера одна.

Такая мера называется мерой Лебега-Стилтьеса. Ч.т.д.

Меры в пространстве ⁿ

Рассмотрим , -борелевская -алгебра в .Р/м вероятн-е меры на этой -алгебре. . (𝙭)= ф-я распр-я

Свойства ф-ции

1. по каждому аргументу она не убывает

2. предел в по каждому аргументу равен 0

3. если все аргументы , получим 1

Пусть даны 2 n-мерные точки

= =

- это многомерный куб

Выразим через .Введем в рассмотрение разностный оператор.

– . Докажем, что

;

.Продолжая аналогично получим требуемое.

если , то для

= выполн-ся след. свойство

Опр. Ф-ция , удовлетворяющая этим 4-м свойствам наз-ся n-мерной ф-цией распр-я.Зам. взаимнооднозначное соответствие между n-мерными ф-циями распределения и борелевской мерами.

Пусть имеется n ф-ций распределения (одномерных) . Они непр-ны справа, неотрицательны и монотонны.

( )= -эта ф-я является n-мерной функцией распределения.

..., =

Опр ф-ция распр-я ( ) называется абсолютно непрерывной, если существует функция ( ):

. Ф-я f называется плотностью распределения