48. Нормир-ые пр-ва. Ограниченность и непрерывность лин. Операторов.

Лин-ое пр-во L над полем действ или комплек-х чисел наз-ся нормиров-ым, если кажд эл-ту (сопост-но неотриц число), которое наз-ся нормой эл-та х, причем справ-вы след аксиомы: 1. , .

2. , . 3. , если .

Опр. Пара (X;ρ) наз-ся метрич. пр-вом, если сущ. действительнозначная ф-ия ρ:Х*Х→R, для кот. верно 1) ρ(x,y)≥0, ρ(x,y)=0↔x=y 2) ρ(x,y)= ρ(y,x) 3) ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ ρ(z,y)

Всякое нормир-ое пр-во станов-ся метрич-им, если за метрику принять . Полное нормиров-ое пр-во наз-ся Банаховым. Примеры: 1) -нормиров-ое пр-во . 2) норм-ое пр-во . 3) .

В конечномерном нормиров-ом пр-ве всякое подпр-во замкнуто, однако в -но мерном пр-ве это не так. Наприм. в с введенной нормой многочлены образ-т незамкн подпр-во.

Сис-му эл-тов, лежащую в нормиров-ом пр-ве Е будем наз-ть полной, если порожденное ею замкн подпр-во есть все Е. Пример: в силу теор. Вейрштрасса, совок-ть всех ф-ций 1,t,t²,… полна в пр-ве .

] нормированные пр-ва над полем ℝ.

Опр1. Отображение А из лин подпр-ва пр-ва Е в пр-во наз-ся линейным, если оно однородно и аддитивно . Из этого опр-ия вытекает линейность обл-ти значения, а также А(0)=0.

Опр2. Лин-ый оператор А наз-ся ограниченным, если ∃ число : для каждого вып-ся нер-во (1).

Наименьшая из констант М, удовл-щая (1) наз-ся нормой лин оператора А и обозн-ся . Отметим, что произвольный оператор наз-ся огр-ым, если он переводит всякое огр-ое мн-во из Е в огр-ое мн-во пр-ва . Как видно из (1) это опр-ие сохр-ся и для лин операторов. Для этого достаточно найти образ единичной сферы пр-ва Е.

Теорема1. .

Опр3. Оператор А наз-ся непрерывным в т. , если каждому соотв-ет : . Это опр-ие непрер-ти по Коши ∼ опр-ю непрер-ти по Гейне: А непрерывен в т. , если для .

Теорема2. Из непрер-ти лин оператор в 0  его непрер-ть в  точке из . □ Из непрер-ти в 0  каждому соотв-ет : если и , то . Рассмотрим произвольные точки и положим . Тогда если , то . Т.е.  .

Теорема3. Для того чтобы лин оператор был ограниченным н. и д. чтобы он был непрерывным. □ Д. ] A непрерывен. Тогда из непрер в 0  числу соотв-ет : из нер-ва  . ] х – произвольный ненулевой эл-т из , тогда или , т.е. А ограничен. Н. ] А – ненулевой оператор, т.е. ∃x: . Допустим, что А ограничен. Рассмотрим и положим в качестве . Тогда если и имеем . Т.е. А непрерывен в 0, а значит на основании теоремы 2 непрерывен в  точке.

Важным частным случаем лин оператора явл-ся понятие лин функционала.

Опр3. аддитивное отображение, где Е – вещественное нормированное пр-во, наз-ся вещественным лин функционалом на Е.

Пример нелинейного функционала - длина дуги.

Опр4. Линейный функционал f на E наз-ся ограниченным, если вып-ся нер-во (3), где М – некоторая постоянная. Наименьшее знач М, при котором вып-ся (3) наз-ся нормой функционала f и обозн-ся .

Из теорем, доказанных выше  . Согласно теореме 3 для ограниченности функционала f н. и д., чтобы он был непрерывен.