47. Компактность в метрических пр-ах. Компактность, полная ограниченность.

Опр. Пара (X;ρ) наз-ся метрич. пр-вом, если сущ. действительнозначная ф-ия ρ:Х*Х→R, для кот. верно 1) ρ(x,y)≥0, ρ(x,y)=0↔x=y 2) ρ(x,y)= ρ(y,x) 3) ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ ρ(z,y)

Опр1. Покрытием мн-ва А в метр. пр-ве наз-ся ∀ семейство открытых мн-в, объединение которых содержит А. Метр. пр-во (Х,ρ) наз-ся компактным, если ∀ его покрытие содержит конечное подпокрытие. Пр-во Х наз-ся счетно компактным, если ∀ ∞ подмн-во имеет хотя бы одну предельную точку. Пример: компактным метр. пр-ом явл. пара (Х,ρ), где Х=[0,1], ρ(x,y)= . Система открытых мн-в { } метр. пр-ва (Х,ρ) наз-ся базой топологии этого пр-ва, если ∀ не ∅ открытое мн-во пр-ва Х может быть представлено как объединение некоторых мн-в из системы { }. Пример: совокупность всех открытых мн-в данного пр-ва есть база топологии.

Лемма1. Для того, чтобы система { } открытых мн-в была базой топологии пр-ва (Х,ρ)⇔чтобы для ∀открытого мн-ва G и ∀a∊G∃ такое мн-во ∊ { }: а∊ ⊂G.

Таким образом, в метр. пр-ах совокупность открытых шаров образует базис. Метр. пр-во (Х,ρ) наз-ся пр-ом со счетной базой, если ∃ хотя бы одна база, состоящая не более чем из счетного числа элементов.

Опр. мн-во А всюду плотно в (X;ρ),если его замыкание совпадает со всеми про-вом (X;ρ).

Лемма2. Метр. пр-во (Х,ρ) явл. пр-ом со счетной базой ⇔когда в нем имеется счетное, всюду плотное мн-во.

В метр. пр-ах компактность связана с понятием полной ограниченности. Пусть М-мн-во в (Х,ρ) и ε>0, мн-во А⊂Х наз-ся ε-сетью для М, если для ∀ т.х∊М ∃ хотя бы одна т.а∊А: ρ(х,а) ε. Заметим, что мн-во А может не содержаться в М и даже может не иметь с ним общей точки. Пример: целочисленные точки на плоскости образуют - сеть. Мн-во М наз-ся вполне ограниченным, если для него при ∀ε>0 ∃ конечная ε-сеть. Вполне ограниченное мн-во всегда ограниченно, как сумма конечного числа ограниченных мн-в, наоборот не всегда верно. Пример: единичная сфера S в пр-ве дает пример ограниченного, но не вполне ограниченного мн-ва. Рассмотрим в S точки вида =(1,0,…,0), =(0,1,…,0),…, =(0,0,…,1). Расстояние между и , где n m, равно , следовательно, в S не может быть конечной ε-сети ни при каком ε< Замечание. Если мн-во М вполне ограниченно, то замыкание М также вполне ограниченно. Из определения полной ограниченности следует, что, если само метр. пр-во вполне ограниченно, то оно сепарабельно. Действительно, построим для ∀n в Х конечную 1/n-сеть. Сумма по всем n представляет собой счетное, всюду плотное мн-во в Х. Поскольку сепарабельное пр-во имеет счетную базу, то получаем, что ∀вполне ограниченное пр-во имеет счетную базу.

Теорема1. Если метр. пр-во счетно компактно, то оно вполне ограниченно.

Теорема2. Для пр-в со счетной базой понятия компактности и счетной компактности совпадают.

Следствие. ∀ счетно компактное метр. пр-во компактно. Заметим, что полная ограниченность необходимое условие, но не достаточное.

Опр: {x_n} точек метрического пр-ва (X;ρ) будем называть фундаментальным, если∀ε>0 ∃N(ε) ∀n>N(ε), ∀m>N(ε), ρ(x_n;x_m)<ε.

Опр: если в метрич. прост-ве(Х;ρ) ∀ фундамент. послед-ть сх-ся, то прост-во называется полным.

Теорема3. Для того, чтобы метр. пр-во было компактным ⇔чтобы оно было одновременно:1)вполне ограниченным; 2)полным. Док-во: ⇒необходимость полной ограниченности отмечалась, необходимость полноты очевидна. Действительно, если { } – фундаментальная посл-ть в Х, не имеющая предела, то эта посл-ть не имеет ни одной предельной точки. ⇐покажем, что, если Х вполне ограниченно и полно, то оно компактно. В силу следствия из теоремы 2 для этого достаточно установить, что Х счетно компактно, т.е. ∀ посл-ть { }∊Х имеет хотя бы одну предельную точку. Построим вокруг каждой точки образующие 1-сеть в Х замкнутые шары радиуса 1, т.к.эти шары покрывают все Х, а число их конечно, то по крайней мере один из них содержит ∞ подпосл-ть посл-ти . Выберем -сеть в и вокруг каждой точки сети построим замкнутые шары радиуса ½. По крайней мере один из этих шаров содержит подпосл-ть посл-ти . Найдем замкнутый шар с центром в и r=1/4, содержащий ∞ подпосл-ть посл-ти . Рассмотрим с каждым шаром замкнутый шар , но в 2 раза большего радиуса, ясно, что шары вложены друг в друга. В силу полноты пр-ва Х и состоит из одной точки , эта точка явл. предельной для исходной посл-ти , т.к. ∀ ее окрестность содержит некоторый шар , а значит и для подпосл-ти посл-ти ч.т.д.