46. Принцип сжимающихся отображений

опр. Пара (X;ρ) наз-ся метрич. пр-вом, если сущ. действительнозначная ф-ия ρ:Х*Х→R, для кот. верно 1) ρ(x,y)≥0, ρ(x,y)=0↔x=y 2) ρ(x,y)= ρ(y,x) 3) ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ ρ(z,y)

опр: отображение А метрич. пр-ва Х в себя называется сжимающим отображением, если ∃ 0<α<1 ∀x,yϵX:ρ(Ax;Ay)<αρ(x;y)( 1). всякое сжимающие отображение непрерывно: если {x_n}→x , то в силу (1) . точка х называется неподвижной точкой А, если Ax=A, другими словами неподвижные точки это корни уравнения Ax=A .

Опр: {x_n} точек метрического пр-ва (X;ρ) будем называть фундаментальным, если∀ε>0 ∃N(ε) ∀n>N(ε), ∀m>N(ε), ρ(x_n;x_m)<ε.

Опр: если в метрич. прост-ве(Х;ρ) ∀ фун­дамент. послед-ть сх-ся, то прост-во назы­вается полным.

Теорема(принцип сжимающихся отображений) всякое сжимающие отображение определенное в полном метрическом прост-ве (X;ρ) имеет одну и только одну неподвижную точку.Док-во. ] x₀ произвольная точка в Х.Положим x₁ –результат действ.оператором А на x₀ получим x₁=Ax₀, x₂=Ax₁=A²x₀,..,x_n=Ax_n-1=Aⁿx₀ покажем, что {x_n} фунд-на. Пологая для определенности m≥n ρ(x_n;x_m)=ρ(Aⁿx₀,A^mx₀)≤αⁿρ(x₀;x_m-n) αⁿ(ρ(x₀;x₁)+ρ(x₁;x₂)+...+ρ(x_m-n-1; x_m-n))≤ αⁿρ(x₀;x₁)(1+α+α²+..+α^m-n-1)≤ αⁿρ(x₀;x₁)1/1-α т.к α<1 , то при достаточно большом n эта величина сколь угодно мала, поскольку прост-во Х-полно, то {x_n} яв фундам-ой и имеет x= , тогда в силу непрерывности отображения А, Ax=A = = =x∃-е неподвижной точки док-но.

Док-ем единственность. Если Ax=x и Ay=y, то α<1 ∀x,yϵX:ρ(x;y)<αρ(x;y)( 1) ясно, что ρ(x;y)=0x=y. Заметим, что требование α<1 в (1) нельзя заменить на α≤1.

Рассмотрим метрич.пр-во (Х;ρ), где x-луч=[1;+∞) ρ(x;y)=|x-y|. ]Ax=x+1/x, тогда ρ(Ax;Ay)=|x+1/x-y-1/y|<|x-y| неподвижной точки нету, т.к Ax=x+1/x≠x, ∀xϵX.

Пример:1)] A:Rⁿ→Rⁿ и задает систему лин.ур-й y_i= , i-1,..,n. Условие при котором отображение а яв.сжимающим зависит от выбора метрики.

а)Rⁿ, ρ(x;y)= , ρ(y’,y’’)= = и условие сжимаемости .

b)возьмем Rⁿ, ρ(x;y)= 𝛒²(y’;y’’)= нер-ва Коши-Буняковскогои условие сжимаемости При полученных условиях сжимаемости рассматриваемая выше система имеет единственное решение.

2)задача Коши. ] дано диф-е уравнение dy/dx=f(x;y)(3.2) с нач.усло-ми y(x₀)=y₀ (3.3). Фун-я f(x;y) определена и непрерывна в некоторой области G содерж.точку (x₀;y₀) и удовлетвор. в этой области условию Липшица по у, |f(x;y₁)-f(x;y₂)|≤М|y₁-y₂| док-ем, что на |x-x₀|<d∃! решение y=φ(x) ур-я (3.2) удовлетвор.нач.усл-ям (3.3). уравнение (3.2) с нач.усл-ми (3.3)~интегральному ура-ю φ(x)=y₀+ (3.4) в силу непрер. фун-ции f имеем |f(x;y)|≤k в некоторой области G’∁G содерж точка (x₀;y₀), подберем d>0 так, чтобы:1)(x;y)∈G’ |x-x₀|≤d, |y-y₀|≤kd 2) Мd<1.

Обозначим через С^* про-во непрер.фун-й φ определ на [x-x₀]≤d: |φ(x)-y₀|≤kd с ρ(φ₂;φ₁)=max| φ₂(x)-φ₁(x)| пр-во С^*полно т.к оно явл.замкнутым подпр-м полного пр-ва всех непрерыв фун-ций на [x₀-d;x₀+d]. Рассмотрим отображение ψ=Aφ по формуле ψ(x)=y₀+ |x-x₀|≤d это отображение переводит полное пр-во С^* в себя и явл.сжатие в С^*, действительно, пусть φϵ С^* и |x-x₀|≤d |ψ(x)-y₀|=| |≤kdA(С^*)∁ С^* |ψ₁(x)-ψ₂(x)|≤ т.к. Md<1, то А явл.сжатием => ур-е φ=Аφ имеет только одно решение в пр-ве С^*.

Интегральное уравнение

Применим принцип сжимающих отображений для док-ва ∃!-ти неоднор. лин.интеграль.урав-я Фредгольма 2-го рода т.е f(x)=λ , где k(x;y) ядро интегр.урав-я, φ-заданная фун-я, λ-параметр, а f искомая фун-я. ] k(x;y) и φ(y) непрерывна в a≤x≤b, a≤y≤b, а значит |k(x;y)|≤M. Рассмотрим отображение g=Af полного пр-ва С[a;b] в себя задаваемой формулой g(x)=λ ρ(g₁;g₂)=max| g₁(x)-g₂(x)|≤(b-a)|λ|Mmax|f₁(x)-f₂(x)|, |λ|<1/M(b-a) отображение А сжимающие. Из принципа сжимающ.отображ-й=>что для всякого λ с |λ|<1/M(b-a) урав-е Фредгольма имеет единст.непрер.решение. Последоват.прближ f₀,..,f_n к этому решению имеет вид f_n(x)=λ , где f₀∀ фун-я ϵС[a;b]. Интегральное ур-е Вольтера имеет вид: f(x)=λ линейное, неоднородное. Обобщение принципа сжимающих отображений. ]Aтакое непрерывное отображение пр-ва (X;ρ) в себя, что некоторая его степень В=Аⁿ явл сжатием, тогда урв-е Ах=х имеет единств.решение. Покажем, что некоторая стопень отображения А f(x)=λ явл.сжатием. ]f₁,f₂ϵC[a;b], тогда |Af₁(x)-Af₂(x)|=|λ|| |≤|λ|M(x-a)max|f₂(x)-f₁(x)|, где M=max|K(x;y)|, отсюда |A²f₁(x)-A²f₂(x)|≤|λ|²M²(x-a)²/2max|f₁(x)-f₂(x)| и вообще|Aⁿf₁(x)-Aⁿf₂(x)|≤|λ|ⁿMⁿ(x-a)ⁿ/n!max| f₁-f₂|≤ |λ|ⁿMⁿ(b-a)ⁿ/n! max| f₁-f₂|, при ∀ значении λ число и можно выбрать таким большим |λ|ⁿMⁿ(b-a)ⁿ/n!<1, тогда Аⁿсжатие. Итак ур-е Вольтерра при ∀λ имеет решение причем единствен-е.