45.Полные метриче­ские пр-ва

Опр. Пара (X;ρ) наз-ся метрич. пр-вом, если сущ. действительнозначная ф-ия ρ:Х*Х→R, для кот. верно 1) ρ(x,y)≥0, ρ(x,y)=0↔x=y 2) ρ(x,y)= ρ(y,x) 3) ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ ρ(z,y)

Опр: {x_n} точек метрического пр-ва (X;ρ) будем называть фундаментальным, если∀ε>0 ∃N(ε) ∀n>N(ε), ∀m>N(ε), ρ(x_n;x_m)<ε.

Ясно, что всякая сходящаяся послед-ть фундаментальна. Действительно, если х_n→х, то ∀ε можно найти число N(ε):ρ(x_n;x)<ε/2 ∀n>N(ε), тогда по нер-ву треугольника ρ(x_n;x_m)≤ ρ(x_n;x)+ ρ(x_m;x)< ε/2 + ε/2 =ε ∀n,mϵN(ε). Заметим, что не всякая фунда­ментальная послед-ть {x_n}элементов метри­чес. прост-ва (X;ρ) сх-ся в данном прост-ве.]x=(0;1), ρ=|x-y|. (X;ρ) метрич.пр-во {1/n} фундамен­тальна т.к ρ(1/n;1/m)=|1/n-1/m|→0, n,m→∞, но она не сх-ся ни к какому элементу пр-ва хϵ(0;1) т.е не яв. Сх-ся в (Х;ρ)

Опр: если в метрич. прост-ве(Х;ρ) ∀ фун­дамент. послед-ть сх-ся, то прост-во назы­вается полным.

Пример полных пр-в:1)пр-во R¹ полно по кр.Коши и фунда­мент-ти. Фундамен-я послед-ть в пр-ве R, ∀ε>0 ∃N(ε):∀n>N(ε), ∀m>N(ε) | x_n-x_m |<ε

Пример:2) пр-во Rⁿ полно. ]{x^(p)} фунда­мен-я посл-ть в Rⁿ, это значит ∀ε>0 ∃N(ε): ∀p,q>N, x^(p)={ }. Тогда для каждого к= получаем нера­венство для коорд. ∀p,q>N т.к { }числовая фун­дам-я пос-ть. ] х_к= , тогда где х упорядочный набор х₁,х₂,….Пр-во С[a;b] полно. ]{x_n(t)} неко­тороя фунд-я посл-ть.∀ε>0 ∃N(ε):∀n>N(ε), ∀m>N(ε) | x_n(t)-x_m(t) |<ε ∀tϵ[a;b]=>x_n(t) равномерно сх-ся и её lim непрер-я фун-я x(t), x_n(t)⇉ , устре­мим n→∞,получим tϵ[a;b] ∀n>N(ε). Это значит, что { } пр-ва С[a;b].

Теорема о вложен­ных шарах

Теорема: Для того, чтобы метрич. прост-во (X;ρ) было полно <=> чтобы в нем всякая послед-ть вложенных в друг друга замкнутых шаров радиусы, кото­рых →0 имело не ∅ пересечение.

Д-во: =>. ] метрич. пр-во (X;ρ) полно и ] B₁,B₂,… последов-ть вложенных в друг друга замкнутых шаров. ] r_n радиус, а x_n центр шара B_n, {x_n}центров фунда­ментальна т.к ρ(x_n;x_m)<r_nm>nr_n→0 n→∞. По­скольку (X;ρ) полно, то{x_n}∃-т . положим тогда x∈ , дейст­вительно шар содержит все точки x_nза исключением их может конечного числа. Таким обра­зом, х-точка прикос­новения для каждого шара , но по­скольку -замкну­тое мно-во, то x∈ ∀n.

<= ] {x_n} –фундам-ная посл-ть. Док-ем, что имеет предел. В силу фунд-ти мы можем выбрать такую точку x_n1 послед-ти, что ρ(x_n;x_n1)<1/2 ∀n>n₁r_n→0. Примем x_n1 за центр шара радиуса 1 обозначим этот шар за B₁. Вы­бираем из {x_n}точку x_n2 так, чтобы было n₂>n₁ и ρ(x_n1;x_n2)<1/2² примем точку x_n2 за центр шара радиуса 1/2 и обозначим за B₂ . Если точки x_n1,x_n2,..,x_nk уже вы­браны при n₁<n₂<..<n_k , то вы­берем точку , то n_k+1 >n_kρ(x_nk; )<1/2^k+1. И окружим её замкну­тым шаром B_k+1 ра­диуса 1/2^k продолжая этот процесс получим послед-ть замкнутых шаров вложенных друг в друга, причем шар B_k имеет ра­диус 1/2^k-1 это послед-ть шаров имеет по предположению точку х ясно, что по построению x= , но если фундамент-я послед-ть содержит сх-ся к х подпослед-ть, то она сама также сх-ся к этому пределу =>x=