43. Изолированные особые точки . Связь классификации с видом ряда Лорана.

Опр1. т.а∊ℂ наз-ся изолированной особой точкой для ф-ии f, если ∃r>0: f аналитична(дифференцируема в комплексном смысле) в проколотой окрестности = \{а}. Классификация изолированных точек: 1) а-устранимая особая точка, если ∃ конечный ; 2) а- полюс, если f(z) при ; 3)Если а-существенно особая точка.

Теорема1. Для того чтобы изолированная т. а∊ℂ ф-ии f была устранимой  чтобы в при z∊ .

Замечание. Если доопределим ф-ию f(z) в т.а, как , то f(z) аналитическая в .

Теорема2.(Сохоцского- Вейерштрасса) ]a – существенно особая точка ф-ии f и f – аналитична в , тогда

Приведем ряд определений и теорем, необходимых для док-ва теоремы о связи классификации особых точек с рядом Лорана. Теорема1(Тейлора). ] f-аналитическая ф-ия в области D, ∊D, ⊂D, тогда ∀z∊ f(z) представима степенным рядом(рядом Тейлора) f(z)= (1), схо-ся в каждом круге ⊂D. Опр. т. а наз-ся нулем кратности m для аналитической ф-ии f, если ф-ия аналитична в этой точке и f(a)= Замечание1. Если а-нуль порядка, то f(z) 0 в , если же а-нуль конечного порядка, то ∃ : (z), f(z) 0 при z a и f(a)=0. Теорем(Лорана). f-аналитическая в кольце K={z:r< }, тогда в этом кольце она представима в качестве ряда(ряда Лорана) f(z)= где коэфф. вычисляются по формуле (*), где - полож. ориентир. окружность: , r< <R.

Теорема3(Связь классификации особых точек с рядом Лорана).] a- изолированная особая точка ф-ии f и f(z)= (разложение ф-ии f в ряд Лорана в ), тогда: а- устранимая особая точка  когда =0; а-полюс  содержит конечное число ненулевых слагаемых; a- существенно особая точка  содержит бесконечное число ненулевых слагаемых. Док-во: в случае устранимой точки действительно получим . Докажем теорему для полюса. ⇒ а-полюс, тогда f(z) при ; выберем : , но тогда - аналитична в , поскольку мы ее доопределяем пределом при ⇒ а –устранимая точка для ⇒ - представима рядом Тейлора: = (z); (z)-аналитична в и (а) . ; - аналитична в , следоват. представима рядом Тейлора ⊜ = - это есть ряд Лорана, у которого . ⇐ ⊜ ⊜ ; - аналитична в и = , тогда f(z) при ⇒а-полюс. ч.т.д.

Замечание. ] f-аналитична в области D и a∊D явл-ся нулем кратности m, тогда f(z) представима в виде: (z), где (z) аналитична в области D и (а) .

- удаленную точку всегда относим к изолированным особым точкам, причем для - удаленной точки , - правильная часть Лорана. Ф-ия f –аналитическая во всей ℂ области наз-ся целой. Если - удаленная точка явл. устранимой, то ⇒f(z) const; Если - удаленная точка во всей ℂ плоскости явл. полюсом, то = p(z)+g(z), где p(z)-некоторый полином, f(z)- аналитическая во всей ℂ области, g(z) const.

44. Вычеты. Основная теорема о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов.

Опр. т.а∊ℂ наз-ся изолированной особой точкой для ф-ии f, если ∃r>0: f аналитична(дифференцируема в комплексном смысле) в проколотой окрестности = \{а}. Классификация изолированных точек: 1) а-устранимая особая точка, если ∃ конечный ; 2) а- полюс, если f(z) при ; 3) а-существенно особая точка.Теорема3(Связь классификации особых точек с рядом Лорана).] a- изолированная особая точка ф-ии f и f(z)= (разложение ф-ии f в ряд Лорана в ), тогда: а- устранимая особая точка  когда =0; а-полюс  содержит конечное число ненулевых слагаемых; a- существенно особая точка  содержит бесконечное число ненулевых слагаемых. Опр1. ] γ – кусочно-гладкая, замкнутая кривая, т. а∊ℂ\γ, тогда под индексом точки а относительно кривой γ понимается I(γ,a)= . Геом. смысл индекса: индекс равен кол-ву оборотов, которые совершает радиус-вектор z(t)-a. Опр2. Цепь наз-ся циклом, если состоит из суммы замкнутых кривых. Опр3. Область D⊂ℂ и γ⊂D-цикл, γ (modD) – цикл гомологичный 0 относительно D, если I(γ,a)=0 ∀а∉D. Опр4. γ-положительно ориентированная граница области D( γ= ), если γ-цикл: I(γ,a)=0 ∀а∉D,γ и I(γ,a)=1 ∀а∊D.Теорема(общая форма теоремы Коши). ]D⊂ℂ, f-аналитическая в области D, тогда для ∀γ (modD) имеет место рав-во =0.

Опр. ] а-изолированная т., - полож. ориентир. окружность, тогда вычетом ф-ии f в т.а наз-ся число . Покажем, что не зависит от выбора , ] 0< < , (mod ). Тогда по теореме Коши ⇒ .

Теорема1. ] f аналитична в и раскладывается в ряд Лорана f(z)= , тогда .

Замечание. Если а-устранимая, то главная часть ряда Лорана =0, а значит =0. Если а-полюс порядка m, тогда ; . Рассмотрим g(z)= f(z)⊜ – аналитическая в и g(a)= ⊜ ⇒ = и

Теорема2(Основная теорема о вычетах для конечной области). ] D –область, ограниченная циклом γ= и f-аналитична в замкнутой области , за исключением конечного числа точек ∊D, тогда = . Док-во: ] - положит. ориент. окружности с центрами в т. , которые содержатся в D и попарно не пересекаются, тогда ( ) (modD\{ }), тогда по теореме Коши =0 ⇒ . ч.т.д.

Для z= = =- (определяется правильной частью ряда Лорана, поэтому даже если -устранимая т., то может и не равняться 0)

Теорема3. ] f –аналитическая во всей комплексной плоскости, за исключением конечного числа особых точек , тогда + =0.

Применение вычетов к вычислению интегралов. 1) ⊜R(x,y)= ; z(θ)= ; dz=izdθ⇒dθ= ; cosθ= = ; sinθ= ; ⅅ=T –единичная окружность, ⅅ-единичный круг⊜ = = ; = ; .

2)a>1, ⊜ =0; , выбираем корень, который попадает в един. круг: -полюс 1-ого порядка ⊜

3) ; P,Q-полиномы, чтобы интеграл сходился, нужно, чтобы Q(x) не имел нулей; 1) Q(x) не имеет вещест. корней, 2) degQ(x)-degP(x) 2. R(z)= – у этой рациональной ф-ии особые точки-это нули знаменателя. Возьмем круг с радиусом так, чтобы нули знаменателя попадали в этот круг. рис

; ; ; = .

, но по­скольку -замкну­тое мно-во, то x∈ ∀n.

<= ] {x_n} –фундам-ная посл-ть. Док-ем, что имеет предел. В силу фунд-ти мы можем выбрать такую точку x_n1 послед-ти, что ρ(x_n;x_n1)<1/2 ∀n>n₁r_n→0. Примем x_n1 за центр шара радиуса 1 обозначим этот шар за B₁. Вы­бираем из {x_n}точку x_n2 так, чтобы было n₂>n₁ и ρ(x_n1;x_n2)<1/2² примем точку x_n2 за центр шара радиуса 1/2 и обозначим за B₂ . Если точки x_n1,x_n2,..,x_nk уже вы­браны при n₁<n₂<..<n_k , то вы­берем точку , то n_k+1 >n_kρ(x_nk; )<1/2^k+1. И окружим её замкну­тым шаром B_k+1 ра­диуса 1/2^k продолжая этот процесс получим послед-ть замкнутых шаров вложенных друг в друга, причем шар B_k имеет ра­диус 1/2^k-1 это послед-ть шаров имеет по предположению точку х ясно, что по построению x= , но если фундамент-я послед-ть содержит сх-ся к х подпослед-ть, то она сама также сх-ся к этому пределу =>x=

f_n(x)=λ , где f₀∀ фун-я ϵС[a;b]. Интегральное ур-е Вольтера имеет вид: f(x)=λ линейное, неоднородное. Обобщение принципа сжимающих отображений. ]A такое непрерывное отображение пр-ва (X;ρ) в себя, что некоторая его степень В=Аⁿ явл сжатием, тогда урв-е Ах=х имеет единств.решение. Покажем, что некоторая стопень отображения А f(x)=λ явл.сжатием. ]f₁,f₂ϵC[a;b], тогда |Af₁(x)-Af₂(x)|=|λ|| |≤|λ|M(x-a)max|f₂(x)-f₁(x)|, где M=max|K(x;y)|, отсюда |A²f₁(x)-A²f₂(x)|≤|λ|²M²(x-a)²/2max|f₁(x)-f₂(x)| и вообще|Aⁿf₁(x)-Aⁿf₂(x)|≤|λ|ⁿMⁿ(x-a)ⁿ/n!max| f₁-f₂|≤ |λ|ⁿMⁿ(b-a)ⁿ/n! max| f₁-f₂|, при ∀ значении λ число и можно выбрать таким большим |λ|ⁿMⁿ(b-a)ⁿ/n!<1, тогда Аⁿсжатие. Итак ур-е Вольтерра при ∀λ имеет решение причем единствен-е.