42. Ряды Тейлора и Лорана.

Опр. ] γ- положительно ориентированная граница области D( γ= ), f-аналитична в , тогда ∀z∊D =f(z) (2)-интегральная формула Коши.

∀ ф-ия f, аналитическая в области D, -дифференцируемая, кроме того, если f-аналитична в и D ограничена циклом γ, то для n=1,2,… имеет место интегральная формула Коши для производных .

Теорема1(Тейлора). ] f-аналитическая ф-ия в области D, ∊D, ⊂D, тогда ∀z∊ f(z) представима степенным рядом f(z)= (1), схо-ся в каждом круге ⊂D. Док-во: ⊂D, = , f(z) ⊜ фиксируем произвольное z∊ , = , т.к. , полученный ряд сх-ся равномерно по ζ по признаку Вейрштрасса. ⊜ . Обозначим = (2). r можем увеличивать до тех пор, пока границы окрестности не встретятся с D⇒ ряд сх-ся в ∀ круге, целиком лежащем в D. ч.т.д.

Замечание. коэффициенты степенного ряда (1) вычисляются по формуле (2), ряд наз-ся рядом Тейлора. Теорема2. ] в ряд (1) сх-ся и f(z)-его сумма, тогда коэффициенты его ряда одназначно вычисляются по формуле (2).

Опр. т. а наз-ся нулем кратности m для аналитической ф-ии f, если ф-ия аналитична в этой точке и f(a)= . ] a-нуль кратности m, рассмотрим поведение ф-ии f(z) в окрестности т.а. По теореме Тейлора f(z)= в . f(a)=0 ;  ,…,  , . Если а-нуль порядка, то в разложении Тейлора все коэффициенты обращаются в нуль и f(z) 0 в . Допустим, а-нуль конечного порядка, тогда f(z)= = = (z). (z)-аналитическая в и (а)= . Замечание. Если а-нуль порядка, то f(z) 0 в , если же а-нуль конечного порядка, то ∃ : f(z) 0 при z a и f(a)=0.

Рассмотрим ряд (2), сх-ся в кольце r< <R.

Опр1. ] γ – кусочно-гладкая, замкнутая кривая, т. а∊ℂ\γ, тогда под индексом точки а относительно кривой γ понимается I(γ,a)= . Геом. смысл индекса: индекс равен кол-ву оборотов, которые совершает радиус-вектор z(t)-a.

Опр2. Цепь наз-ся циклом, если состоит из суммы замкнутых кривых.

Опр3. Область D⊂ℂ и γ⊂D-цикл, γ (modD) – цикл гомологичный 0 относительно D, если I(γ,a)=0 ∀а∉D.

Опр4. γ-положительно ориентированная граница области D( γ= ), если γ-цикл: I(γ,a)=0 ∀а∉D,γ и I(γ,a)=1 ∀а∊D.

Теорема(общая форма теоремы Коши). ]D⊂ℂ, f-аналитическая в области D, тогда для ∀γ (modD) имеет место рав-во =0.

Теорема(Лорана). f-аналитическая в кольце K={z:r< }, тогда в этом кольце она представима в качестве ряда f(z)= где коэфф. вычисляются по формуле (*), где - полож. ориентир. окружность: , r< <R. Док-во: сначала докажем, что не зависят от выбора , ] r< <R, (modK). - аналитическая в K, тогда по теореме Коши ⇒ , т.е. нет зависимости от Выберем r< , K₁={z: < }-замкнутое кольцо, = -полож. ориент. граница. ∀z∊ f(z)= . ] ζ∊ ,

; , вычисляются по (*). ]ζ∊ , ; =

; . –k=n, n=-1,-2,…, тогда = ; ⊜ ч.т.д.

Замечание. Ряд(2), коэфф. которого вычисл. по формуле (*), наз-ся рядом Лорана ф-ии f; - правильная часть ряда Лорана, - главная часть ряда Лорана.

Теорема(Единственность ряда Лорана). ] f представима в виде ряда(2) в кольце K={z:r< }, тогда его коэффициенты однозначно вычисляются по формуле (*).