40. Теорема Коши для выпуклой области. Формулировка общего случая.
Опр. f(z)dz наз-ся полным дифференциалом в области D, если ∃ аналитическая в D ф-ия F: F’(z)=f(z)
Теорема1.
] w=f(z)
непрерывная ф-ия в области D,
тогда
не зависит от формы кривой(а зависит
только от начальной и конечной точек)
f(z)dz-
полный дифференциал по области D.
Лемма
Гурса. ] f
– аналитическая в D,
треугольник
с границей
содержится в D,
тогда
Док-во: η(∆) =
.
Соединим середины сторон треугольника,
пронумеруем полученные треугольники:
-подобные. По аддитивности интеграла
получаем η(∆)=η
+η(
)+η(
)+η(
).
В силу нер-ва треугольника:
.
Найдется из треугольников
:
.
С
поступаем также, т.е. соединяем середины
его сторон и получаем:
,
среди которых найдется
:
.
Продолжая аналогично, получаем посл-ть
вложенных треугольников ∆⊃
⊃…,
такую что
.
λ-периметр треугольника ∆, а периметр
треуг.
=
.
a-т.,
к которой стягиваются треугольники,
=f’(a)-дифф.
ф-ии f(z)
в т. a.
Фиксируем произ. ℰ>0,
∃r>0:
при z∊
⇒
(*). С некоторого номера
⊂
.
=
=
(2).
=0(по
теореме1);
=0(по
теореме1). Из (2) и (*) ⇒
;
⇒
⇒
,
т.е.
.
ч.т.д.
Теорема
2(Коши для выпуклой области). ] f
– аналитич. ф-ия в выпуклой области D,
тогда для ∀
замкнутой кривой
⊂D
=0(т.е. f(z)dz
–полный дифференциал). Док-во: f(z)dz
– полный дифференциал означает, что
∃F:
F’(z)=f(z).
Зафиксируем т. а∊D
и ∀z∊D
определим F(z)=
.
Определение ф-ии F(z)
дано корректно, т.к. [a,z]⊂D(D-выпукло).
F(z+
z)-F(z)=
-
⊜
Рассмотрим
,
в силу выпуклости D
этот треугольник из D,
и по лемме Гурса:
=
+
+
⇒
.
⊜
.
;
=
⊜
^зафиксируем произвольное ℰ>0,
тогда для некоторого r>0:
ζ
при
^
=ℰ,
т.е. показали, что
,
F’(z)=f(z).
ч.т.д.
Опр.
] γ – кусочно-гладкая, замкнутая кривая,
т. а∊ℂ\γ,
тогда под индексом точки а относительно
кривой γ понимается I(γ,a)=
.
Геом. смысл индекса: индекс равен кол-ву
оборотов, которые совершает радиус-вектор
z(t)-a.
Опр.
Цепь
наз-ся циклом, если состоит из суммы
замкнутых кривых.
Опр.
Область D⊂ℂ
и γ⊂D-цикл,
γ
(modD)
– цикл гомологичный 0 относительно D,
если I(γ,a)=0
∀а∉D.
Теорема 3(общая форма теоремы Коши). ]D⊂ℂ, f-аналитическая в области D, тогда для ∀γ (modD) имеет место рав-во =0.
Опр.
Мн-во E⊂ℂ
наз-ся связным, если
двух открытых мн-в
⊂ℂ:
E⊂
;
E
и E
;
E
.
Опр. Область D⊂ℂ наз-ся односвязной, если ℂ\D связно.
Теорема 4(Коши для односвязной области). ]D-односвязная область в ℂ, f-аналитическая в D, тогда для ∀ замкнутой кривой ⊂D =0.
Опр. γ-положительно ориентированная граница области D( γ= ), если γ-цикл: I(γ,a)=0 ∀а∉D,γ и I(γ,a)=1 ∀а∊D.
Теорема
5(Коши для многосвязной области). ] γ=
в D’⊃D
γ,
тогда
=0.
41. Интегральная формула Коши. Интеграл Коши.
Опр1. ] γ – кусочно-гладкая, замкнутая кривая, т. а∊ℂ\γ, тогда под индексом точки а относительно кривой γ понимается I(γ,a)= . Геом. смысл индекса: индекс равен кол-ву оборотов, которые совершает радиус-вектор z(t)-a.
Опр2. Цепь наз-ся циклом, если состоит из суммы замкнутых кривых.
Опр3. Область D⊂ℂ и γ⊂D-цикл, γ (modD) – цикл гомологичный 0 относительно D, если I(γ,a)=0 ∀а∉D.
Опр4. γ-положительно ориентированная граница области D( γ= ), если γ-цикл: I(γ,a)=0 ∀а∉D,γ и I(γ,a)=1 ∀а∊D.
Теорема(общая форма теоремы Коши). ]D⊂ℂ, f-аналитическая в области D, тогда для ∀γ (modD) имеет место рав-во =0.
Теорема1.
] f-аналитична
в области D⊂ℂ
и цикл γ
(modD),
тогда ∀а∊D,
а∉γ
выполняется I(γ,a)f(a)=
(1). Док-во: ]
- положит. ориентир. окружность с центром
в т. а радиуса r,
который берется меньшим, чем расстояние
от а до γ. Получим цикл: γ-I(γ,a)
.
γ-I(γ,a)
(modD\{а}).
Возьмем
b∉D,
,
тогда
I(γ-I(γ,a)
,b)=I(γ,b)-I(γ,a)I(
,b)=0;
I(γ-
I(γ,a)
,a)=I(γ,a)-
I(γ,a)I(
,a)=0;
- аналитическаяв
D\{а},
тогдапотеоремеКоши
⇒
=
(*). Покажем,
что
при r
.
По опр4. имеем I(
,a)=1
⇒
.
;
зафиксируем 0
,
при
;
,
показали, что
, подставляя это в (*), получаем (1).ч.т.д.
Следствие.
] γ- положительно ориентированная
граница области D(
γ=
),
f-аналитична
в
,
тогда ∀z∊D
=f(z)
(2)-интегральная формула Коши.
Опр.
] γ⊂ℂ,
-непрерывна
на этой кривой, тогда F(z)=
наз-ся интегралом Коши с плотностью
.
Fn(z)=
.
Лемма. ∀z∊ℂ\γ Fn(z) дифференцируема и F’n(z)=nFn+1(z).
Следствие.
∀
ф-ия f,
аналитическая в области D,
-дифференцируемая,
кроме того, если f-аналитична
в
и D
ограничена циклом γ, то для n=1,2,…
имеет место интегральная формула Коши
для производных
.
Теорема
Морера: ]
f-непр.
в области D
и допустим, что
по ∀ϒ-
замкнутой,ϒ∊D,тогда
f
аналтит. в D
Док-во:
-
полный дифференциал
аналит.в
D:
,
т.к.
диф., то и
диф.,.
диф., то и
аналитическая.
Ч.т.д.
Теорема
Лиувиля: ]
f-аналит.
в области
и
огр.
тогда
≡const
Д-во:
пусть
точка,
Возьмем круг
для
него справед.
.
.
нерав.
Коши
Ч.т.д.
Теорема
о выделении ветви,
f-аналитична
в односвязной области D
и ≠0 при z∊Dтогда
в D
выдел. однознач. ветвь
а значит можно выделить и
