38. Комплексная диффер-ть. Условия Коши-Римана.
Пусть ф-я f задает отображение из одной комплексной плоскости в др. w=f(z), где z=x+iy, f(z)=u(z)+iv, u(z)=u(x,y), v=v(x,y).
Опр:
(Комплексная диф-ть.) Число А наз-ся
пределом ф-ции f(z)
при z→a
А=
,
если "ε>0
$δ
>0: "z:0<|z-a|<δ
|f(z)-A|<ε.
Опр.
f(z)
непрерывна в т. a,
если
.
Опр.
u(z)=u(x,y)
дифф. в веществ. смысле в т. a=
,
если u(z)-u(a)=
.
Опр. f(z) дифферен. в вещест. смысле, если диффер. u(x,y) и v(x,y).
Пусть
f(z)
определена в некоторой окрестности
точки а.
Будем говорить, что ф-я f(z)
дифференцируема в комплексном смысле,
если $
.
f(z+
)-f(z)=
+o(
)
Теорема:
Ф-я f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
диф-ма в т.z
в компл-ом смысле ↔ когда она диффер.
в вещ-ом смысле и вып-ся усл-я К.-Р:
=
,
=
.
(1)
Д-во:→
Пусть w=f(z)
диф-ма в компл. смысле. Возьмем приращение
=η=ξ+iζ.
.
Усл. комп-ой диф-ти: f(z+η)-f(z)=
+o(
)
след.
u
и v
дифф. в вещ. смысле и
,
,
,
⇒
=
,
=
.
← имеет место вещ. диф-ть и вып-ся усл. К.-Р. ⇒ выполняется (*) и , .
Умножаем второе рав-во в (*) наi и складываем с первым. Получаем:
f(z+η)-f(z)=
+o(
)⇒f(z)
дифф. в т. z
и
.
ч.т.д.
Сл-е
1:
,
⇒
- комп-я запись усл. К.-Р.
Сл-е
2: Пусть u
и v
вещ-я и мнимая части ф-ции f(z
) 2-ды непр. диф-мы. Используя условия
К-Р, получим:
=
,
=
⇒
=0-
Ур-е Лапласа. Аналогично для v.
Т. о. вещ-я и мнимая часть ф-ции f(z)=u(x,y)+iv(x,y) удовл-ют ур-ю Лапласа, т.е. явл-ся гармоническими ф-ми.
Геометрический
смысл модуля производной:
=
.
Условия
комплексной дифф. в форме дифференциала.
dz=dx+idy,
d
,
dy=
] f
дифф. в веществ. смысле, тогда
df=
dx+
dy=
+
=(
)dz+(
)
⇒
–условие Коши-Римана.
Опр: Ф-я w=f(z), опр-я на открытом мн-ве D наз-ся аналитической (голоморфыной) на D, если она диф-ма в компл-ом смысле в каждой т-ке D. Ф-ю будем наз-ть аналитической на произвольном мн-ве, если она аналитична на нек-ом открытом мн-ве E: E⊂D.
Примеры
аналит. ф-ий: f(z)
const;
f(z)
z;
f(z)
;
любой полином P(z)=
-аналитическая
во всей комплексной плоскости ф-ия.
39. Степенные ряды. Элементарные ф-ии.
Опр.
Степенной ряд имеет вид
(1), где
.
Ряд
сх-ся
равномерно по z∊E
по признаку Вейерштрасса, если
(
)
Теорема(Абеля).
Для ряда (1) число
(2) обладает сл. св-ми: 1) при
ряд (1) сх-ся абсолютно и равномерно; 2)
при
>R
ряд (1) расх-ся; 3) в круге
<RS(z)=
представляет собой аналитическую(дифферен.
в комплексном смысле) ф-ию, S’(z)=
.
Замечание.
Число R
наз-ся радиусом сходимости ряда (1). R=0,
если
=
,
R=
,
если
=0.
Формула (2) наз-ся формулой Коши-Адамара.
Док-во:
1) R>0,
0<
<R.
Возьмем
(по аксиоме полноты)⇒
.
=
⇒
при n
⇒
.
Возьмем
⇒
=
,
а ряд
сх-ся (т.к.
).
По признаку Вейерштрасса ряд (1) сх-ся
абсолютно и равномерно.
2)
>R⇒
.
подп-ть
номеров, что
⇒
⇒
⇒
не вып-ся необход. ус-ие сх-ти ряда,
значит ряд (1) рас-ся.
3)
=g(z);
=
⇒
радиус сх-ти почленно продифференц.
ряда такой же, как и у исходного. S(z)
и g(z)
непрерывны в круге радиуса R,
т.к. сх-ся ряды равномерно. Возьмем 0<
.
=
⊕
=(z-
)(
),
,
⊕
+
^ Выбираем номер N:
,
-полином,
аналитическая ф-ия, значит
^
ч.т.д.
Элементарные ф-ии.
f(z)=
;f’(z)=f(z),f(0)=1
;
n=0:
n=1:
n=2:
;
определена
во всей комплексной плоскости; св-ва:
;
при x>0
и 0<
при x<0;
=1;
;
.
cosz=
,
sinz=
- аналитические ф-ии во всей комплексной
плоскости; (cosz)’=-sinz;
(sinz)’=cosz;
cosx=
;
sinx
=
;
cosz,
sinz-неограниченные
ф-ии. Формула Эйлера:
.
Периодичность:
С-период, если f(z+C)=f(z),
⇒
=1
x=0;
y=2k
⇒c=2k
.
,
cosz,
sinz
периодичны с периодом 2
.
w=lnz
рассмотрим как ф-ию, обратную к
,
т.е.
;
w=u+iv; z=
⇒
⇒
u=ln
;
z=
;
;
v=
;
w=lnz= ln
+iargz.
Если
0<argz<2
,
то можем выделить непрерывную однозначную
ветвь lnz.
(lnz)’=
;
ln(1-z)=-
.
Еслиa,b∊ℂ,
то
:=
,
a
.