37. Устойчивость реш-й диф. Ур-ий.

] некоторое явление описыв-ся сис-ой диф-х ур-й , с нач усл-ми (2). Нач усл-я обычно явл-ся рез-тами измерений и  они заданы с некоторой погреш-стью. Возникает вопрос о том, при каких усл-ях достаточно малые изм-я нач усл-й приведёт к малому изм-ю реш-я. Реш с-мы (1) наз-ся устойчивым по Ляпунову, если реш-е с-мы (1), удовл-ее усл , удовл-ет усл-ю ,

Т.е. близкие в нач момент времени t₀ реш-я остаются близкими при t. Устойч-ть реш-я зависит не от него самого, а от поведения близких к нему реш-й. Если при сколь угодно малом вып-ся нер-во , то реш-е наз-ся неустойчивым. Если реш-е не только устойчиво, но и удовлетворяет усл-ю , то реш-е наз-ся асимптотически-устойчивым.

Исслед-ие на уст-ть некоторого реш-я с-мы (1) можно заменить исследованием на уст-ть точки покоя, нах-ся в начале коорд. Сделаем замену , т.е. новыми неизвестными ф-ми явл-ся отклонения «старых» неизв ф-й от исследуемого на устойч-ть. реш-я .

, с-му (1) перепишем в виде (1)  ; (3). C-ма (3) – это с-ма диф ур отн-но неизв ф-и (t) причём реш-ю с-мы (1) соотв-ет реш-е (t) с-мы (3). Опр-ие уст-ти примет вид вып-ся ,

Теорема Ляпунова об уст-ти.Если  диф-ая ф-я v(x₁,х₂,…,x_n), наз-мая ф-ей Ляпунова, удовл-щая в окр-ти начала корд след усл-ям:

1. v(x₁,x₂…,x_n) 0 и имеет в т. строгий локальный min =0

2. Производная , взятая вдоль интегральных кривых с-мы (1) неположительна при всех t>t₀, тогда точка покоя устойчива по Ляпунову.  т.к. ф-я v(x₁,x₂,…,x_n) имеет в т. (0,0,..,0) строгий локальный min = 0, то пов-ти уровня v(x₁,x₂,…,x_n)=C представляют собой замкнутые пов-ти внутри которыx наход-ся т. минимума.

] ε > 0, при достат-но малом C> 0 пов-ть уровня v(x₁,x₂,…,x_n)=C целиком лежит в ε-окр-ти нач коорд., но не проходит через начало координат. Поэтому можно выбрать δ > 0 такое, что δ-окр нач корд будет целиком лежать внутри повер-ти уровня v=С. Для всех точек этой δ-окр вып-ся усл-е v(x₁,x₂,…,x_n)<C, если нач. реш-е =(x₁(t₀),x₂(t₀)…,x_n(t₀)) выбрать в δ-окр нач корд, то v(x₁(t₀),x₂(t₀)…,x_n(t₀))=C₁<C. Точка траектории, опр-мая этими нач усл-ми не может выйти за пределы ε-окр начала корд, т.к. в силу усл-я 2 теоремы ф-я v вдоль интегр кривых невозрастает, т.е. v(x₁(t),x₂(t)…,x_n(t)) v(x₁(t₀),x₂(t₀)…,x_n(t₀))=C₁<C

Теор Ляпунова об асимп-ой уст-ти. Если ∃ удов-щая всем усл-ям теор Ляпунова об устойч-ти и, кр того, производная ф-ии v,вычис-ая вдоль интегр-х кривых с-мы (1) вне сколь угодной малой окр-ти нач коор-т строго отриц-на: , то т. cист.(1) асимп-ки уст-ва.

Теор Четаева о неуст-ти. Если ∃ диф-ая ф-ия , удовл-ая в нек-рой замк-ой ε -окр-ти нач. коорд.усл-ям: 1) в сколь уг-но малой окр-ти нач.коор-т∃ обл-ть, в кот-ой , причем на лежащей в окр-ти части границы этой обл-ти. 2) производная ф-ии ,выч-ая вдоль инт-ых кривых с-мы (1) в этой обл-ти неотр-на , прич в сколь угодно малой окр. нач. коор.: , тогда т. покоя неуст-ва.