34. Формула Стокса

Геометрич опр-ие ро­тора. – дважды непр-но диф-ая пов-ть. ] – её представле­ние, где - пло­ская огр обл-ть, в кот справед-ва фор-ла Грина. ] граница этой обл-ти – простой кусочно-глад­кий контур, а – полож-но ори­ент граница D. . Считаем, что ориента­ция на S опр-ся нормалью и - пов-ть с выбран-й норма­лью . Г - некий контур с пред­ставлением .Говорят, что контур Г огр-ет пов-ть S или пов-ть S натянута на контур Г. ]

Теорема Стокса: ] ф-и P,Q,R непрер вместе со своими 1-ми част­ными про­изводными в G. тогда (1), т.е циркуля­ция вект-го поля по Г = потоку ротора этого поля через S, огранич-ую кон­туром Г.

(2)



Аналог-но,

, .

Складывая их, получим фор-лу (2)

Замеч1. Используя связь м/ду поверхн-ым 1-ого и 2-го рода формулу Сто­кса можно переписать в виде

Замеч2. Ф-ла Стокса оста­ется справед-вой, если в ней взять противоположн нормаль и противоположн контур. ] G – некотор обл в , на ней задано неко­тор непрер диф-мое век­торное поле . - произ­вольн постоян единичн век-р. П – пл-ть, проходящ че­рез т.  . - кусочн-гладк контур d(S) - диа­метр S. ] Г согласо­ванно ориент-но с .

Теорема: ] проекц на нормаль , тогда (3)

Замеч3.Величины, входящ в прав часть ф-лы (3) не за­висят от выбора с-мы коорд-т. При фиксир-ом изм-ие ориентации сист-мы коорд-т меняет ориентацию на меняет знак  ме­няет знак и фор-ла Стокса остается справ-вой и в левой с-ме коорд-т.

35. Теорема -ия и единственности реш-я задачи Коши для с-мы диф-ых ур-й.

Опр. Ф-я у=φ(х), опр-я на промеж , наз-ся реш-ем инт-го ур-я

, если она непр-на на этом промеж и обращает это ур-е в тождество

Опр.] дана норм. с-ма диф-ых ур-й. .

ф-и - решения с-мы (1) на промежутке <a;b>. Сов-ть точек с коор-ми ( ), где х<a;b> наз-ся интегральной кривой.

Задача Коши для с-мы (1) ставится так: найти решение , опред-е в окр-ти т. х₀, удовлетворяющее условиям .

Опр. М наз-ся метрич. пр-вом, если сущ. ф-ия ρ:M*M→R, для кот. верно 1) ρ(x,y)≥0, ρ(x,y)=0↔x=y 2) ρ(x,y)= ρ(y,x) 3) ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ ρ(z,y)

Послед. наз-ся фундамент-й, если для ε>0 N: n,m>N: ρ(x_n, x_m)<ε

Опр. Если в метрич. пр-ве M люб. фунд. послед. сх-ся, то M-полное метрич. пр-во.

1 Принцип сжим отображений. Если в полном метрическом пр-ве М задан оператор удовл-ий усл-ям: 1) действует в пр-ве М ; 2) сближает т-ки

Тогда неподвижная точка

и эта точка может быть найдена методом последовательных приближений

произвольная точка М.

2 теорема. ] дана норм с-ма диф-ых ур-й.

Если непрер и удов-ют усл-ю Липшица по пер-ным

То реш-е сист (1) удов нач усл-ям (3), опр-ое на отрезке Пеано ,

, где M= ,

 Р/м пр-во С, точ-ми кот явл-ся n-мерн вект-ф-ии

Причем, все опр-ны на отрезке Пеано. Расстояние в пр-ве С опред-им равен-вом

ρ . При таком опред-ии расстояния мн-во С n-мерных вектор-ф-й становится полным метрическим пр-вом. В этом пр-ве зададим оператор след образом: Т.е. при действии оператора на точку ( ) получаем точку того же пр-ва С с коорд, удовл-ми нач усл-ям (3), записанным в интегральной форме. Покажем, что . Для этого оценим Т.к. , то

Т.е. каждая корд удовл-ет усл-ю  опр-ны на отрезке Пеано  Проверим явл-ся ли сжимающим, т.е. удовл ли он усл-ю (2) принципа сжимающ отображ.

Если выбрат , , то будет вып-ся усл-е и будет сближать точки. Тогда согласно принципу сжим-х отобр .

Эта с-ма означает, что ф-и явл-ся реш-ми с-мы (1), удовл-ми нач усл-ям (3)(по теореме об эквивалентности).

теорема об эквив.: Ф-я y= явл решением з-чи Коши для ур y'=f(x,y) <=>она явл реш для ур

усл Липшица: Ф-я f(x,y) удовл усл. Липш по перемен y если:

и |f |

З-ча Коши – найти реш. диф ур. удол-ее нач. усл.

36. С-мы лин диф-ых ур-ий с пост-ми коэф-ми.

Опр Системой лин. однородных диф. ур-ий с пост. коэфф. явл-ся система

В матричной форме: , .

Рассмотрим метод Эйлера решения системы таких уравнений.

] собств вектор матрицы А соотв-щий собств знач ⅄, т.е. =⅄ . Покажем, что явл-ся реш с-мы (1). => = . Теорема. ] (1) такая с-ма, что собств знач матрицы А попарно различны, тогда общее реш-е с-мы (1) имеет вид (2), где =const, а . -собств вект соотв собств знач .  Каждая ф-я явл-ся реш ур-я (1) и -л.н., поэтому  их лин комбинация также явл-ся реш ур-ия (1), т.е. (2) – реш ур-я (1)( по теореме: если ф-и образуют ФСР для лин. одн. диф. ур-ия, то его общее реш-е имеет вид ). Покажем, что реш ур-я (1) может быть записано в виде (2). ] - реш ур-ия (1) удовл нач усл-ю (0)= Собств векторы л.н. и образуют базис. Вектор имеет в этом базис какие-то коорд-ты: = тогда реш опред-мое ф-лой (2) удовл-ет нач усл-ям . Но тем же нач усл-ям удовл и реш-е , тогда в силу единственности решения = .

Рассмотрим случай кратных корней.] для собств знач ⅄ построен базис соотв-го корневого подпр-ва. образуют 1-ый столбец жорд лестницы. А ⅄ , ; А ⅄ , (A-⅄E) = , А ⅄ … Введем в рассмотрение посл-ть векторных ф-й , r= = +..+ . Тогда векторные ф-и явл-ся реш-ем ур-я , причем они удовл-ют усл-ю . Докажем это. Для этого получим два вспомогательных тождества: I. +..+ =

II. = +…+A = ⅄ ⅄ + ⅄ +…+ +⅄ = )

, =A

+⅄ = ( +⅄ ) значит это реш-е. Таким образом каждому столбцу жорд лестницы, состоящему из к-векторов, соотв к реш-й вида (3). Чтобы получить все реш-я с-мы (2) нужно построить реш-я для каждого столбца жорд лестницы для каждого собств знач ⅄, а затем построить лин комбинацию этих реш-й с произвольными постоянными: (t) (4) Докажем, что (4) дает общее реш ур-я (2). В силу вышеизл-го, ,…, (t) явл-ся реш ур-я (2)  и их лин комб также явл-ся реш ур-я (2). Выберем произвольное реш-е ур-я (2) удовл = . Разложим в каноническом базисе В={ ,.., }. Подставим ,.., в (4), тогда реш-е х(t) с этими константами будет удовл нач усл (0)= = . В силу т. о-и и единственности реш-я и удовл одним и тем же нач усл-ям, поэтому совпадают = .

Другой метод решения систем – приведением матриц систем к Жордановой форме (вкратце: Экспоненциальная ф-я от м-цы: )