32. Формула Грина

] - плоская обл, - ее граница. Предположим что в замыкании заданы не­прер-ые ф-и P(x,y), Q(x,y), имеющие в замыка­нии непрер-ые производные . Тео­рема. Ф-ла Грина. Если состоит из конечного числа кусочно-гладких контуров, то справедлива ф-ла: (1).  Докажем (1) сначала для прям-ка

Рассуж­дая анало­гично . Вычитая, получаем тре­буе­мое.

Докажем (1) для обл-ти вида .

Где дуга АС описывается непрер строго воз­растаю­щей на [a;b] ф-ей .

. Обратную к 𝜆(x) ф-ю обо­значим как и y[c;d], тогда

Вычитая, получаем ф-лу (1). Замечание. Анало­гично уста­навливается справедливость формулы для обл, полученных из , поворотом вокруг на­чала координат на . Со­вок-ть обл указанного вида, а также прям-ки на­зовем элементарными обл-ми.

] обл-ть 𝛺 с границей обла­дает тем свойст­вом, что может быть разрезано пря­мыми, || осям коорд-т, на конечное число элементарных обл, тогда для 𝛺 справед­лива ф-ла Грина. Действи­тельно, представим ее как . Заметим, что общая граница всех со­стоит из границы обл-ти  и суммы конечного числа от­резков, каждый из кот и служит границей 2-х сосед­них эл-х обл. при этом каж­дый отрезок проходится 2 раза в про­тивоположных на­правлениях и поэтому соотв-щие этим проходам криволин -лы взаимно уничтожаются, т.е. получается . Граница состоит из конечного числа ку­сочно гладких кривых с угловыми точками .

вы­бираем квадраты с центрами в угло­вых точках, со сторо­нами || осям координат. При этом граница каждого квад­рата пересекается с каждой из 2-х ветвей гра­ницы , исходящих из точки ровно в одной точке. Сумма площа­дей этих кв-тов будет . Сумма длин границ , на­хо­дящаяся в квадрате, бу­дет . Удалим из те точки, кот находятся в и исполь­зуем уже доказ-ое при . ] 𝛺 – плоская обл, в кот применима фор­мула Грина. – положи­тельно ориент-ая ее гра­ница. Если . .

33. Формула Гаусса – Остроградского

] GR³ не­которая обл-ть: , где S₁ – z=(x,y); S₂ – z=(x,y). (x,y)<(x,y), (x,y)D из­меримое, ,  - непрер на . Возможна ситуация . S₀ – часть цилиндра с образую­щей || оси oz и направ­ляющей – границей обл-ти D. Мн-во G наз-ся элемен­тарной обл-тью отн-но оси oz. .

] на S за­дана ф-я (x,y,z). Определим

. I=I₁+I₂+I₃

I ₁ интеграл по внешней сто­роне поверхности S₁; I₂ – S₂; I₃ – S₀. Весь I наз-ют интегралом по верхней сто­роне S. Заме­тим, что I₃=0. Аналогично опр-ся поверхно­стный ин­теграл по внутрен­ней сто­роне пов-ти.

Если S₁, S₂, S₀ – кусочно-гладкие, то поверхност­ный интеграл по внешней стороне, ориент-ый по внешней единичной нор­мали с направляющими cos-ми . . Анало­гично опр-ся обл-ти эле­ментарные отн-но осей ox и oy. А для обл-тей одно­временно эле­ментарных отн-но всех коор-ых осей имеем по внешней стор; . Обл-ти элементарные отн-но всех осей наз-ся эле­ментарными.

Теорема. ] G – эл-ая обл-ть и на заданы ф-и P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрер вместе со своими частными производ­ными , тогда (1), где интеграл в пра­вой части берется по внешней стороне обл-ти G. Формула (1) носит назва­ние О-Г.

Следствие. Если при выполнении условий теоремы G кусочно-глад­кая, то . (2) Здесь - на­правляю­щие косинусы нор­мали к пов-ти S. Поло­жив , (2) пере­пишем в виде (3) поток векторного поля через замкнутую пов-ть в сторону внешней нор­мали.  теоремы.

Рассмотрим

Аналогично,

;

Замечание1. Формула О-Г справедлива для  огр-ой обл-ти, граница которой со­стоит из конечного числа кусочно-гладких по­верхно­стей. Замечание2. Формула О-Г позволяет найти выраже­ние для объема обл-ти через соотв-щий поверхностный ин­теграл. Если P(x,y,z)=x, Q(x,y,z)=y, R(x,y,z)=z, то (Объем).