31. Криволинейные интегралы 2-го рода.

] задана плоская спрям­ляе­мая кри­вая A B с нач в т.А и концом в т.B, а вдоль нее задана ф-я f(x,y). Зададим разбие­ние с отмеченными точками . со­ста­вим интегральную сумму

. ко­нечный предел при мел­ко­сти разб . наз-ся криволин  2-го рода от ф-и f(x,y) вдоль кривой АВ с нач в т.А и концом в т.B и обозначается ана­логично . Если на кри­вой AB опр-ны 2 ф-и P(x,y), Q(x,y) и инт-лы то их сумма обозн-ся . очевидно сл-ее св-во . Аналогично опр-ся криволин-е -лы 2-го рода вдоль пространст­венных кривых. .

-ие и вычисление -ов 2-го рода. ] кривая AB за­дана параметрически где непрер диф-мые на , при изменении t от к точка с координатами монотонно дви­жется от A к B.

Теорема. При сде­ланных предположе­ниях отн-но кривой (1) и при усл-и непрер-ти f(x,y) на (AB) справед­лива ф-ла. .  ] точки опр-ся пар-ром на кривой , , то­гда

Рассмотрим  в правой части рав-ва (2).

(3). Возь­мем и т. к. ф-и непрер на разбиения с мелкостью разб < вып-ся . устремляя по­лучаем ф-лу (2) и в ча­ст­ности -ие криволин-го .

З амечание: Аналогичными рассуждениями устанавливается, что справ-ва формула

.

] кривая AB задана как y=y(x), тогда

.

Случай замкнутого кон­тура. Ориентация контура. Рас­смотрим произвольный замк­нутый контур (К), т. е. кривая (AB), у кот нач и конечная точки сов­падают.

Е сли задано направление об­хода контура (К), то опре­делен  по этому кон­туру и ясно, что его значение не зависит от выбора A и B на кон­туре. Если же просто за­дан контур (К) и неопре­де­ленно направление, то даже задание нач и конеч­ной то­чек не определяет направле­ние на (К). ] контур (К) или с-ма кон­туров огр-ет обл-ть Д на пл-ти. Говорят что контур (К) положительно ориенти­рован (в правой с-ме ко­орд-т), если на этом кон­туре выбрано такое на­прав­ление обхода, при кот обл-ть Д все время оста­ется слева, отриц-но ори­ентиро­вана – справа. Со­глашение. Если путь инт-ия явл-ся контуром (К) и не указано направление обхода, то под символом понима­ется , взятый в + направле­нии. При смене напр-я об­хода знак  меняется на про­ти­воположный.

Связь между криволин-ми  1-го и 2-го рода.

Если между А и В на кривой взять произвольный набор точек А₀=А, А₁, А₂,…, А_n=B Длину дуги =

, если он  наз-ся криволинейным инт-лом 1-го рода от ф-и f(M), взятым по кривой  и обозн-ся , где ds – эле­мент длины дуги кривой АВ.

Р ассмотрим кривую (AB), имеющую касательную в ка­ж­дой точке.

Выберем в качестве пара­метра длину дуги . Тогда кривая представля­ется в виде . обозначим че­рез - угол между век­тором касательной к кри­вой (AB) в т. M(S) и осью Ox, тогда ; ] вдоль кри­вой (AB) задана непрер ф-я f(M)=f(x,y), тогда Таким образом кри­волин-ый  2-го рода свелся к криволин  1-го рода. Заметим что во всех формулах угол связан с тем направле­нием касатель­ной, кот от­вечает за напр-ие кривой. Если изменить напр-ие кривой, то не только  слева изменит свой инте­грал, но и  справа, т. к. заменится на . Для случая трехмерного пр-ва , где - углы между век­тором касательной и осями ox, oy, oz соответ­ственно.