Дифференцируемость сложной функции

Теорема: Пусть x(t) и y(t) ф-ции одного переменного t, дифференцируемы в точке и пусть . Если ф-ция диф-ма в точке , то определена в некоторой окрестности точки имеет в производную

Следствие. Если ф-и x(u,v) и y(u,v) непрерывны в точке и имеют в ней частные производные и , и диф-ма в точке , где , то в точке ∃ частная производная сложной ф-и , причем

28. Кратный интеграл Римана. Сведение кратного интеграла к повторному.] Д замкнутая огр-ая обл-ть с границей Г площади 0. Разобьем Д при помощи конечного числа кривых пло­щади 0 на конечное число замкнутых частичных обл-тей , каждая из кот имеет границу площади 0. Значит, квадрируема. Обозначим ее площадь за и в каждой из выбе­рем произвольную точку . Число (1) наз-ся инт-ной суммой ф-и f(x,y), соот-щей данному разб Д и данному выбору точек . Число бу­дем наз-ть диаметром обл-ти . Диаметром разб-я обл-ти Д будем наз-ть . Число I наз-ся пределом инт-ых сумм (1) при , если (*)

Ф-я f(x;y) наз-ся инт-мой по Риману в обл-ти Д, если ∃ конечный lim инт-ых сумм при →0. Этот lim наз-ся  от ф-и f(x;y) по обл-ти Д (**) Теорема: общее опр-ие инт-ти (**)~(*).

Осн-ые св-ва : 1) аддитивность. Если f(x;y) инт-ма в обл-ти Д, кот кри­вой Г площади О разбиваем на 2 связные, не имеющие общих внутр точек обл-ти Д₁ и Д₂, то f(x;y) инт-ма в ка­ждой из областей Д₁ и Д₂, причем (1)

Замечание. Из инт-ти f(x;y) в каждой из обл-тей Д₁ и Д₂ ее инт-ть в Д.

2) линейность. ] f(x;y) и g(x;y) инт-мы в обл-ти Д. α, βR, тогда ф-я αf+βg также инт-ма в Д 3) если f и g инт-мы в обл-ти Д, то их произве­де­ние также инт-мо в Д. 4) если f и g инт-мы в об­ласти Д и всюду в ней f(x;y)≤g(x;y), то

5) если f инт-ма в обл-ти Д, то и |f(x;y)| инт-ем, причём обратно не­верно

6) если f(x,y) инт-ма в обл-ти Д, а g(x,y) огр-на и совпадает с f всюду, за искл-ем мн-ва точек пло­щади 0, то и g(x;y) инт-ма в Д.

7) если f и g инт-мы в обл-ти Д. Ф-я g(x;y)≥0(≤0). , то ∃ μ∈[m;M]: , если при этом ф-я f непрер в обл-ти Д, а Д связная, то в этой обл-ти  точка (ξ;η): μ=f(ξ;η)

8) =площади Д.

Сведение  к повтор­ному.

Случай прямоугольника.R=[a;в]×[c;d] Теорема1: ] f(x;y) инт-ма в R и ] для каждого x∈[а;в] ∃ , тогда ∃ повторный  и справед­ливо рав-во (***) разо­бьем прям-ник R точками {x_k},{y_l} на np прям-ов. . ∆ - max-ый из диаметров разб-я всего прям-ка. S, s – верх и нижние суммы. Всюду на прям-ке справедливо нер-во (1) За­фикс-ем произвольное ξ_к∈[x_k-1;x_k] и проинт-ем (1) в пределах от y_l-1 до у_l. (2) Умножим (2) на ∆х_к и про­суммируем по всем l и k. (3) Уст­ремим ∆→0, тогда max →0, обе суммы s и S→ . Значит ∃ lim среднего члена в нер-ве (3) = , но это же lim по опр-ию однократного , т.е

Замечание: так же как и в теореме можно показать ∃-ие  и ∃ ∀у∈[c;d] ф-и К(у)= т.е и рав-во его -лу. Случай произвольной обл-ти. Теорема 2. ] вып-ны сл-щие усл-я: 1)обл-ть Д такова, что ∀ прямая || оси оу, пересек границу обл-ти либо по целому отрезку [у₁(х),у₂(х)], либо не более чем в 2-х точках, ординаты кот-ых у₁(х),у₂(х); у₁(х)≤у₂(х), 2) ф-я f(x;y) инт-ма в Д и ∀х∈[x₁;x₂] до­пускает ∃-е то­гда ∃ по­вторный и справед­ливо рав-во (****)  обозначим R прям-ик со сторонами || осям коорд-т и RД. Для F вып-ся все усл-ия тео­ремы 1  справедлива формула (***), которая в силу выбора F даёт фор­мулу (****).

Замечание: если обл-ть Д не удовл-ет требованиям тео­ремы 2, то её пытаются раз­бить на сумму конеч­ного числа областей не пересек-ся и удовл-их усл-ям тео­ремы, тогда в силу аддитив­ности сумме  по этим обл-ям.

29. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.Опр. Пусть на открытом множестве заданны ф-и (1), . Пусть мн-во , уравнения (2) наз-ся уравнениями связи.

Опр.Пусть на множестве G задана ф-я . Точка наз-czточкой условного экстремума для ф-и относительно уравнений связи (2), если она явл-ся точкой обычного экстремума этой ф-и, расс-мой только на множестве E.

Предположения.

1) все ф-и (непрер дифференцируемы) в открытом мн-ве G.

2) в расс-мой точке градиенты линейно независимы, т.е. rang матрицы Якоби =m (числу функций) ⇒ система ф-й (1) независима в окрестности точки ⇒ в этой точке хотя бы один из определителей вида . Для опред-ти это будет , тогда по теореме о неявных ф-циях система ур-ий (2) разрешима в окрестности точки относительно первых . Решение будет зависеть от оставшихся переменных , тогда для (3),

где g – некоторая непрерывно диф-мая ф-я в окрестности точки . Точка является точкой устранимого экстремума для ф-и относительно ур-ий связи(2) ⇔ является точкой обычного экстремума для ф-ции (3) ⇒она должна быть стационарной и для нее . Это условие является необходимым.

] ф-я f₀,f₁,..,f_m непрерывно диф-ма в открытом мн-ве G⊂Rⁿ,n≥m

Теорема:] х⁽⁰⁾точка условного экстремума фун-ции f₀ при выполнения условия связи f_i(x)=0(2) тогда в этой точке градиенты фун-и f₀,f₁,..,f_m линейно зависимы т.е ∃ числа λ₀,λ₁,…,λ_m: λ₀∇ f₀+ λ₁∇ f₁+..+ λ_m∇f_m=0

□ док-ем утверждение равносильно самой теоремы.если в точке х⁽⁰⁾=( ) удовлетворяет уравнением связи f_k(х⁽⁰⁾)=0 к=

∇ f₀,∇ f₁,., ∇f_mлинейно независимы, то х⁽⁰⁾ не яв точкой условного экстремума.] ∇f₀,∇f₁,., ∇f_mлинейно независимы тогда rang=m+1=>в матрице якоби ∃ минор (m+1) порядка≠0.] для определителя

т.к мн-во G открытое,то ∃𝛿₀:∀ 0< 𝛿 < 𝛿₀ i= y⊂G зафиксируем х_n+2=

Обозначим через

очевидно,что фун-и f_j( ) j= они определены и непрер диффер-мы: рассмотрим изображение Ф:

y₁=f₀(x₁,x_m+1, )

-----------------

y_m+1=f_m(x₁,x_m+1, )

x^*(0)=( )

Кроме того Ф(х^*(0))=(f₀ (х⁽⁰⁾),0,0…,0) тогда по теореме о локальной обратимости непрерыв диф-мых отображений в точке где его якобиан≠0 найдем ∃-е ℇокрестности в точке Ф(х^*(0))

V={y:|y₁-f₀(х⁽⁰⁾)|<ℇ},

|y_j|<ℇ,j на которой отображение обратно к φ определенно т.е ∀ точку окрестности V отображается какая-то из точек и теперь возьмем произвольное 0<η<ℇ ясно,что точка: f₀ (х⁽⁰⁾)+η,0,…,0)∈V в найдутся точки х’*,x’’*:Ф(х’*)=(х⁽⁰⁾)+η,0,…,0)

Ф(x’’*)=f₀(x^(*)-η:0,..,0) если обозначить за х’( )

x’’( )

используя рав-во (5) мы можем записать

f₀(x’)=f₀(х⁽⁰⁾) –η

f_k(x’)=0 k=

f₀(x’’)=f(х⁽⁰⁾) –η

f_k(x’’)=0 k= т.е при заданых условиях связи.мы нашли точки,в которых значение фун-и f₀больше или меньше ⇒ точках⁽⁰⁾ не яв точкой условного экстремума.

Следствие:Если в точке х⁽⁰⁾ условного экстремума ф-и относительно ур-ий связи градиенты лин независимы, то ∃ такие что в этой точке . Запись в координатной форме (4).

Опр. Ф-я , где все удовлетворяют уравнению (4) наз. функцией Лагранжа рассм-мой задачи, а сами числа наз. множителями Лагранжа.

Замечание: Условие (4) означает, что если х⁽⁰⁾ точка условного экстремума ф-и относительно уравнений связи, то она является стацион.точкой ф-ции Лагранжа.

□ Если градиенты функции лин. независимы, то тогда по теореме линейна комбинация (иначе была бы лин. зависимость градиентов). Разделим рав-во на и получим требуемое. Это условие необх, но не достаточное.

Теорема (Дост условие условного экстремума): если х⁽⁰⁾удовлетворяет уравнениям связи (2) и яв стационарной для фун-и Лагранжа и при этом второй диф-л фун0и Лагранжа яв знакоопределеной квадратичной формулой dx₁,..,dх_n при условии, что они удовлетворяют то точка х⁽⁰⁾ яв точкой условного min или max для фун-ции f относительно уравнения связи.

Пример: Найдем экстремум ф-ии , при условиях

Построим ф-ию Лагранжа

,

Подставим в ур-ие связи

⇒ в точке М условный минимум.

3 0. Криволинейные интегралы 1-го рода.] задана спрямляемая кри­вая  на пл-ти с концами в т. А и В. ] z=f(M)=f(x,y) огр-ая ф-я, опр-ая на кри­вой . Если между А и В на кривой взять произвольный набор точек А₀=А, А₁, А₂,…, А_n=B, следующих одна за другой, то мы будем гово­рить, что задано разбие­ние Т кривой АВ. Длину дуги будем обозна­чать = . мелкость разбиения Т. Если на каж­дом из кусочков за­фиксиро­вать точку M_i, то будем го­ворить, что за­дано разбие­ние с отмечен­ными точками на кривой АВ (будем обозна­чать ). - инте­гральная сумма, соотв-щая разбиению с отмеченными точками. Конечный предел мелкости разб 0, , если он  наз-ся криволинейным инт-лом 1-го рода от ф-и f(M), взятым по кривой  и обозн-ся , где ds – эле­мент длины дуги кривой АВ.

Сведение криволин инт-ла 1-го рода к инт-лу по прямо­лин отрезку. Предпо­ложим, что на  установ­лено направ­ление так, что положение т.М на кривой может быть определено длиной дуги АМ, отсчиты­ваемой от т.А. Тогда  параметрически запишется ур-ми вида 0sдлина . Тогда ф-я f(x,y) сводится к сложной ф-и одного ар­гу­мента sf(x(s),y(s)), обо­значим S_iзначение дуги, от­вечающей точке разбиения А_i. S_iA_i; . Обо­зна­чим значение длины дуги, отвечающей за поло­же­ние т.М. Тогда интегральная сумма

(1)Причем -ие одного инт-ла влечет -ие другого. ] кривая задана ур-ем y=y(x), axb. Элемент длины дуги ;

(2)

Если кривая задана пара­мет­рически , где  и  непрер диф-ые ф-и и это отображение взаимно одно­значно переводит от­резок t₀t₁ в кривую . Т.к.  и  непрер, то  заведомо спрям­леямая кри­вая и если воз­растание длины дуги от­вечает возрас­танию пар-ра t, то и заме­няя пере­менную в (1), получаем (3)

Св-ва крив-го интегр-а 1-го рода:

1. Аддитивность. Если кривая и f интегр-ма на , то она интегр-ма и на и :

2. Независимость от ориентации

3. 

Пример:

Найдем , где L=AB - дуга кривой y=x,

А=(-1,-1), В=(2,2)

y’=1