24. Определенный интеграл Римана. Условия интегрируемости. Формула Лейбница-Ньютона.

f(x) – некоторая ф-я, заданная на [a;b]. Разобьем этот отрезок произвольным образом так, чтобы x₀=a<x₁<…<x_n=b. Точки x_iбудем называть точками разбиения T. Пусть , . Обозначим на плоскости точки A: x=a; B: x=b; C: f(b); D: f(a). Можно обозначить

S_ABCD= .

Опр.Число наз-ся интегральной суммой для функции f(x), соответствующей данному разбиению Т отрезка [a;b] и данному выбору промежуточных точек на .

Обозначим за .

Опр.Число Iназ-ся пределом интегральных сумм при , если , .

Опред: f(x) наз-ся интегрируемой по Риману на [a;b], если существует предел интегральных сумм I этой ф-ции при . Этот предел называется определенным интегралом от ф-ции f(x) по [a;b]. I= .

Т1: Неограниченная на [a;b] ф-ция не интегрируема на нем.

Пусть f(x) определена на [a;b], Т - разбиение отр-ка [a;b] т-ми x_i. Обозначим , .

- верхняя инт-я сумма ф-ции f(x) для заданного Т[a;b].

- нижняя сумма.

Очевидно, что

Свойства и :

1)можно выбрать так, что или .

2) Если получено добавлением новых точек к разбиению Т, то , .

3) Для произвольных и [a;b] и .

4) Множество данной f(x) ограничено снизу для , а - сверху.

Опр. Числа и наз-ся верхним и нижним интегралом Дарбу от ф-ции f(x). .

5) Пусть разбиение получено из разбиения Т путем добавления р точек, и - нижние и верхние суммы разбиений Т и соотвественно. Тогда , где , , .

6) Лемма Дарбу: и от ф-ции f(x) по [a;b] явл-ся соответственно пределом верхних и нижних сумм при .

Т2: Для того, чтобы ограниченная на [a;b] ф-ция была интегрируема на нем,  : .

□ |→Пусть f(x₀) интегрируема на [a;b], I – предел интегральных сумм этой ф-ции, т.е. (*). Зафикс. такое разбиение Т, для котор выполняется (*). По св-ву 1) можно выбрать точки и :

, . Обе интегральные суммы I удовлетворяют (*), Поэтому .

Т.к. и : Поэтому для . В силу это значит, что .

Докажем, что I – предел интегральных сумм. В силу л. ДарбуI – общий предел и при => , причем . Для ∀ этого разбиения ⇒ при ⇒I – предел интегральных сумм => ф-ция интегрируема.■

Пусть ,

, - колебание f(x) на .

Тогда

Для того, чтобы f(x) была инт-ма на [a;b] н. и д. .

Т3: Если f(x) непр. на [a;b], то она инт-ма на нем.

Т4: Если f(x) опр-на и огр-на на [a;b], и

можно указать конечное число инт-лов, покрывающих все точки разрыва этой функции и имеющих сумму длин , то она инт-ма на нем.

След: Ограниченная на [a;b] ф-ция, имеющая лишь конечное число точек разрыва, интегрируема на нем.

Замеч. Если f(x) интегр-ма на [a;b] и g(x)≠f(x) лишь в конечном числе точек, то g(x) интегрируема на [a;b], причем

Т5: Монотонная на [a;b] ф-ция интегрируема на нем.

Лемма1: Если f(x) инт-ма на [a;b], то определена непрерывная на [a;b] ф-я .

Лемма2Если f(x) инт-ма на [a;b] и непрерывна в , То F(x) диф-ма на [a;b] в х, причем .

Т6: Каждая непрерывная на [a;b] ф-ция имеет в этом отрезке первообразную, причем имеющую вид .

Опр. Непрерывная на числовом промежутке ф-ция F(x) наз-ся обобщенной первообразной ф-ции f(x), опр-й на том же промежутке, если во всех точках промежутка, за искл., быть может, конечного их числа, F^/(x)=f(x).

Т7: Каждая определенная и ограниченная на [a;b] ф-я с конечным множеством точек разрыва имеет в этом отрезке обобщенную первообразную, причем имеющую вид

.

Т8: Если |f(x)|<C=const, с конечным числом точек разрыва, то f(x) инт-ма, и где F(x) – произвольная первообразная ф-ции f(x) на [a;b].

□ Инт-сть ⇒ из теор.4. По теор. 2 существует обобщ. первооб-я . Положим x=a, тогда F(a)=C⇒ . В частности, - формула Лейбница-Ньютона.

25. Свойства интеграла Римана. Теоремы о среднем.f(x) – некоторая ф-я, заданная на [a;b]. Разобьем этот отрезок произвольным образом так, чтобы x₀=a<x₁<…<x_n=b. Точки x_iбудем называть точками разбиения T. Пусть , .

Опр.Число наз-ся интегральной суммой для функции , соответствующей данному разбиению Т отрезка [a;b] и данному выбору промежуточных точек на .

Обозначим за .

Опр. Число I, наз-сяпределом интегральных сумм при , если , т.е. .

Опр. Функция f(x)наз-ся интегрируемой по Риману на [a,b], если ∃ конечный пределI интегральных сумм этой ф-и, при .

Указанный предел наз-ся определённым интегралом от ф-и f(x), на [a,b]

Основные свойства определ-го интеграла.1)

2) Если a<b, то

3) Пусть f(x) и g(x) интегрируем. на [a,b], тогда f(x) + g(x), f(x) - g(x) и произведение также интегрируемы на [a,b].

4) Если f(x) интегр. на [a,b], то сf(x), где с- const также инегрир. на [a,b], причём

5) Пусть f(x) интегрируем. на [a,b], тогда f(x) интегрируем. На ∀ [c,d], лежащим внутри отрезка [a,b]. [c;d]⊂[a;b]

6) Пусть f(x) интегр. на [a,с] и [c,b], тогда эта функция интегр. на [a,b], причём (св-во аддитивности)

Оценки интегралов.

1. Пусть интегрируема на [a,b] и , тогда

Замеч. Если f(x) интегрируем. на [a,b] и её значение , то

2. Если непрерывна, неотрицательнаи ≠0 на [a,b], тогда

3. Если f(x) и g(x) интегрируем. на [a,b] и для , то

Замеч. Если интегрируем. на [a,b], то её модуль также инегрируемая функция и справед. неравенство:

4. Пусть f(x) и g(x) интегрируемы на [a,b] и пусть и , тогда справедливы неравенства:

Теорема. Первая формула среднего значения.Пусть интегрируем. на [a,b], , , тогда ∃число .

Замеч: Если непрерывна на [a,b], то ⇒ , тогда

Теорема: Первая формула сред. значения в обобщённой форме

Пусть и интегрируем. на [a,b], , . Пусть кроме того (или ) на [a,b]. Тогда∃ и (1)

В частности, если непрерывна на [a,b], то ∃ξ (2)

□ Если , то на основании св-во 4 , тогда в качестве μ можно брать любое число, если же , то в нер-ве разделим на

Если же f(x) непрерывна на [a,b], то какое бы ни было число (в силу непрерывности функции), то из (1) получим (2)■

Замеч: Если f(x)не явл. непрерывной на [a,b], то (2) может быть не верна. (т.е. это условие существенно)

Пример:

; ⇒

Лемма1. Если интегрируема на [a,b], то определена ф-я и - непрерывна на [a,b].

Лемма2. Еслиf (x) и g(x) интегрируем. на [a,b] и и не возрастает на [a,b], тогда ∃ точка

(3)

Теорема: Вторая формула сред. значения

Если на [a,b] фун. монотонна, а интегрируема на этом же отрезке, то∃ξ: - формула Бонне

□ - неубывает на [a,b] ⇒ - это неотрицат., не возраст., инегрир. на [a,b] ф-я.

Применим (3) из леммы 2.

, но

тогда получим

■

Это доказательство для неубыв. функции, если не возрастает, тогда и повторим док-во, получим требуемое.

26. Ряд Фурье. Полнота тригонометрической системы. F=F[a;b] – мн-во всех инт-ых по Риману на [a;b] ф-й. Определим скал произв

] Х – лин пр-во. Ф-я и ставящая в соотв-ие действ-ое число ||x|| наз-ся нормой в лин пр-ве, если она удовл-ет сл усл-ям:

а) ||x||=0 – невырожд-ть

б) – однородность

в) ||x₁+x₂|| ||x₁||+||x₂||

Положим

Ф-ции f,gF наз-ся взаимно-ортогональными, если

Ф-ция f из F наз-ся норм-ой, если ||f||=1.

Система ф-ций наз-ся ортонорм-ой, если

1)

2)

Лемма 1: ] с-ма ф-й попарно ортог-ны на [a;b]: . Тогда с-ма ф-й явл-ся ортонорм-ой на [a;b]

Теорема 1: ] – ортогон. с-ма непрер ф-й. Предположим, что ряд имеет своей суммой и сх-ся к ней равномерно на [a;b]. Тогда

Следствие:]вып-ны усл-я теоремы и кроме того с-ма нормирована, тогда

Опр.] – ортон-ая на [a;b] с-ма и ф-я числа наз-сяобобщенными коэф-ми ф-и f в с-ме . Ряд , где по наз-ся обобщённым рядом Фурье для f в с-ме ;

Опр.Обобщ ряд Фурье порождаемый ф-ей f(x) в с-ме наз-ся тригонометр-им рядом Фурье, порожд ф-ей f(x) и обозн-ся , , Не всякий тригономтрр ряд явл-ся рядом Фурье.

Лемма 2. ] f(x) удовл-ет усл-ию Липшица на (a;b), т.е. constk: , тогда её можно продолжить по непрер-ти на [a;b], причем продолженная ф-я удовл-ет усл-ию Липшица на всем [a;b].

Опр. Будем говорить, что f(x)-кусочно-Липшицева на [a;b], если  такое разложение этого отрезка [a;b]=[a;x₁][x₁;x₂]…[x_n;b]. Что на каждом из интервалов (a;x₁), (x₁;x₂), … (x_n;b) f(x) удовл-ет усл-ию Липшица.f(x) – кусочно-Липшицева на ℝ, если она обладает таким св-вом на [a;b] на прямой.

Лемма 3. Если f(x) кусочно-Лип­шицева на R, то для х₀ ко­нечные пределы: ,

Теорема 2. Если f(x) 2-перио­дична и кусочно-Липшицева, то х её ряд Фурье имеет конечную сумму (1)

Пусть - произвольная с-ма непрер ф-й, опр-ых на . Говорят, что данная с-ма полна в классе (непрер) , если всякая, заданная на этом пром-ке непрер ф-я может быть равномерно приближена лин комб-ми конечного числа ф-й данной с-мы, т.е.

Опр. ] f(x) непрер, 2 -переодическая ф-ия. частичная сумма ряда Фурье. -сумма Фейера порядка n.

Теорема Фейера ] f(x) непрер, 2 -переодическая ф-я, тогда суммы Фейера σ_n(x) сх-ся равномерно кf(x) сх-ся равном, xR.

Теорема 3.С-ма ф-й

полна в классе непрер - периодических ф-й.

 Заметим, что – лин комб ф-й данной с-мы. Тогда по т.Фейера с-ма явл-ся полной.■

Теорема4.С-ма ф-й полна в классе непрер на ф-ий.

 ] непрер на , продолжим ее четным образом на , полученную ф-ю обозначим . Она принимает равные значения на концах отрезка и для нее справедлива т.Фейера, т.е. но на нем .

27. Частные производные и дифференцируемость функций многих переменных.Рассмотрим ф-ю 3-х переменныхu(x,y,z) в некоторой окрестности точки . Фиксируя переменные , , получим ф-ю одной переменной . Обычная производная этой ф-и в точке наз-сячастной производной ф-и u(x,y,z) в точке по и обозначается .

Опр.Частным дифференциалом ф-и u(x,y,z)в данной точке наз-ся ее дифференциал по переменной х при условии что y и z фиксированные.

.

;

Подобные опред. имеют место для любого числа переменных.

Замеч:1) Из непрер-ти в данной точке ф-и n-переменных не вытекает ∃-ие у нее в этой точке частных производных.

2) При из ∃-ия даже всех частных производных в некоторой точке, не следует непрерывность ф-и в этой точке.

Опр. Ф-я определенная на мн-ве наз-ся бесконечно малой при по сравнению с , если и . при .

Рассмотрим ф-юz=f(x,y), которая определена в шаре , –центр, - радиус. Возьмем точку , , , , - полное приращение ф-и.

Опр.Ф-я z=f(x,y) наз-сядифференцируемой в точке если ∃ два числа А и B: .

В случае диф-ти ф-иfв т. , линейная ф-я переменных и наз. полным дифференциалом ф-и f в точке и обозначаетсяdz=df.

, , , .

По опр-ю

(1)

(2).

Т1: Если диф-ма в точке , то она непрерывна в этой точке.□Т.к. , , то из (2) ⇒что при ⇒ по опр-ю ф-я непрерывна

Т2: Если диф-ма в точке и ее дифференциал в этой точке, то в точке у ф-и f(x,y) ∃ все частные производные и , (3), дифференциал .

□ По опр-ю диф-ти ф-и при . Возьмем , тогда , перейдем к limпри :

, , перейдем к limпри : .

Следствие. Если диф-ма в точке , то она имеет единственный дифференциал.

Т3: Пусть в некоторой окрестности точки имеет частные производные непрерывные в самой точке , тогда ф-ция диф-ма в этой точке.

□] – окрестность точки , в которой определены ф-и f(x,y), , . Выберем , так чтобы точка .

Заметим, что это ф-я от . Применим формулу конечных приращений Лагранжа. Это возможно т.к. ф-я имеет производную по условию и она непрерывна. непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале . непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале .

Применим формулу Лагранжа.

(4),

где . Если обозначить разность ,а (5), то в силу непрер-ти частных производных и в т. получаем , (6). Выразим из (5) уменьшаемые и подставим в (4), получим , что в силу рав-ва (6) означает диф-ть ф-и в точке ■

След: Если имеет в некоторой точки непрерывные частные производные, то и также непрерывна в точке.

Опр. Ф-я, имеющая в некоторой точке (на некотором мн-ве) непрерывные частные производные наз-ся непрерывно диф-мой в этой точке (на этом мн-ве). Условие диф-ти ф-и это ;