22. Формула Тейлора и ее применения к исследованию функций.

_{Формула Тейлора для многочленов: р(х)=а0+а1х+…+аnxn – целый многоч-н степени n.}

_{Положим х=0 и найдем выражение коэф-тов мн-на через значение самого мн-на и его производных при х=0.}

_{Подставим это в мн-н:}

_{Можно разложить по степеням (х-х0), х0=const:}

_{р(х)=А0+А1(х-х0)+…+Аn(x-x0)n ,}

_{x-x0=ξ =>x=x0+ ξ, p(x)=p(x0+ ξ)=P(ξ);}

_{P(ξ)=А0+А1ξ+…+Аnξn, A0=P(0), A1=P’(0)/1!, …, An=P(n)(0)/n! ,}

_{A0=р(x0), A1=р’(x0)/1!, …, An=р(n)(x0)/n!}

_{p=р(x0)+р’(x0)(x-x0)/1!+…+р(n)(x0)(x- x0)n/n! – Ф-ла Тейлора для многочленов.}

_{Замеч: Если p=с0+с1(x-x0)+…+сn(x- x0)n/n!, то необх, чтобы р(x0)=с0, р’(x0)=c1, …, p(n)(x0)=cn.}

_{Предположим, что у ф-и y=f(x) в х0∃ производные всех порядков до n включит ⇒f(x) определена и имеет производныеf‘(x)…f(n-1)(x), на некотором отрезке [a;b]: x0 [a;b] и n-ю производную в самой точке х0 : f(n)(x0).}

_{Составим мн-н}

_{Согласно замеч., р(x0)= f(x0), р/(x0)= f/(x0), …, p(n)(x0)= f(n)(x0). Но если f(x) не целый многочлен, то не обязательно f(x)=p(x).}

_{Изучим r(x)= f(x)-p(x).}

_{Докажем, что при x→x0 , r(x)=o((x-x0)n)(*).}

_{Очевидно, что}

_{r(x0)= r’(x0)=…= r(n)(x0)=0 (**).}

_{Теорема: Если для какой-либо функции r(x), имеющей в х0 производные до n-го порядка включит., выпол-ся усл-я (**), то имеет место (*).}

_{□(по индукции):}

_{n=1: r(x0)= r’(x0)=0. Проверим что r(x0)= o(x-x0).}

_{Предположим, при n=k истинно.}

_{n=k+1: r(x0)=r’(x0)=…=r(k+1)(x0)=0. Докажем, что r(x0)= o((x-x0)k+1)}

_{По предполож индукции r(x0)= o((x-x0)k). По формуле конечных приращений r(x)=r(x)-r(x0)=r'(c)(x-x0), c (x0;x); |c-x0|<|x-x0|.}

_{r/(c)= o((c-x0)k)=o((x-x0)k)}

_{r(x)= o((x-x0)k)*(x-x0)= o((x-x0)k+1). ч.т.д.}

_{Т.о., – Ф-ла Тейлора с доп членом в форме Пеано и является естественным обобщением формулы f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+ o(x-x0).}

_{Такое представление единственно:}

_{f(x)=Ax0+A1(x-x0)+…+An(x-x0)n+o((x-x0)n)}

_{f(x)=Bx0+B1(x-x0)+…+Bn(x-x0)n+o((x-x0)n)}

_{Bx0+B1(x-x0)+…+Bn(x- x0)n+o((x-x0)n)= Ax0+A1(x-x0)+…+An(x- x0)n+o((x-x0)n)}

_{при x→x0A=B – уничтожаем, делим на (x-x0), получаем при x→x0A1=B1 и т.д. ⇒An=Bn}

_{Если раскладывать в x0=0, то называется формулой Маклорена.}

_{Некоторые примеры:}

_{1)f(x)=ex, f(k)(0)=1, f(0)=1, ex=1+x+x2/2!+…+xn/n!+o(xn)}

_{2)f(x)=sin(x), f(k)(x)=sin(x+ ), f(2m)(0)=0, f(2m-1)(0)=(-1)m-1, sin(x)=x-x3/3!+x5/5!…+(-1)m-1x2m-1/(2m-1)!+o(x2m)}

_{Р\м f(x) на [x0;x0+H], H>0 (отр-к [x0-H;x0] рассматривается аналогично).}

_{В отрезке [x0;x0+H] ∃и непр-ны первые n производных, и, по крайней мере, в интервале (x0;x0+H) ∃и конечна f(n+1)(x). Тогда р\м остаток rn=f(x) - f(x0)-…-f(n)(x0)(x-x0)n/n!. Фиксируем и заменяем постоянное число x0 на переменную z – получим вспомогательную функцию}

_{, z [x0;x]}

_{причем , . В интервале (x0;x) ∃}

_{Возьмем произвольную ф-цию , непрер. в [x0;x] и имеющей 0 производную хотя бы в (x0;x). Тогда по формуле Коши , x0<c<x⇒} .

_{Т.к. ⇒ .}

_{С различныхψ(x) можно получить различные формы остаточного члена. При , p>0, получим дополнительный член в форме Шлемильха-Роша:}

_.

_{Если положить p=n+1, то в форме Лагранжа:}

_.

_{Если p=1, то в форме Коши:}

_.

_{Из разложений ф-ций по ф-ле Тейлора вытекают асимптотические оценки, характеризующие их поведение в окрестности точки a.}

_{Разложение ф-ий применяют для вычисления пределов:}

_.

_{Кроме того, многочлен Тейлора является мн-м наилучшего приближения ф-ции в окр-сти данной точки.}

_{Теор.: f(x) – n раз диф-ма в x0 и f(x)=Pn(x)+o((x-x0)n), .}

_{, тогда , k=0,1,2,…, т.е. Pn(x) явл-ся многочленом Тейлора.}

_{□ По ф-ле Тейлора}

_{Перейдем к пределу при – отбросим это слагаемое в равенстве и сократим его на (x-x0), т.е.}

_.

_{Опять перейдем к пределу при : a1=f/(x0) и т.д. ■}

23. Ряд Тейлора. Разложения элементарных функций.

Опр. называется степенным рядом, – коэф-ты степенного ряда.

Опр. Говорят, что функция y=f(x), опр-я на инт-ле (a;b), представима рядом Тейлора с центром в x₀ (a;b), если ∀x (a;b) .

Ряд называется рядом Тейлора ф-и f(x), и Маклорена при x₀=0.

Т1:y=f(x) – беск. диф. В ф-я и , где А – некотораяconst, не завис от k, тогда f(x) представима в рядом Тейлора с центром в x₀.

□Зафикс . Достаточно показать, что ряд имеет своей суммой f(x₁), т.е. .

По ф-ле Тейлора: если f(x) (n+1)раз дифференцируема на , то : ⇒ :

, т.к. ■

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций.

Т2: (1)

Док-во. (e^x)⁽ⁿ⁾=e^x⇒ ряд Тейлора (2)

Покажем, что сумма ряда (2) = e^x.

Зафикс . Т.к. e^x– бесконечно диф-ма, то достаточно показать, что

⇒ . Тогда по теор.1 всюду в и, в частности, при x=x₀, сумма ряда = e^x■

Т3: .

Т4: .

_Т5:

.

След: arctg(1)= =1-1/3+1/5-1/7+…

Т6: .

След: ln2=1-1/2+1/3-1/4+…

Т7: