20. Признаки равномерной сходимости функционального ряда.

_Опр.Пусть (1) посл-ть ф-ий, определенных на некотором мн-ве ER. Если xE выполнено , то ф-ия f(x) наз-ся предельной ф-ей для посл-ти (1).

Опр. Р\м ряд (2), где ф-ии определены на мн-ве , если для ∀ ряд (2) сх-ся и имеет суммойS(x), то S(x) наз-ся предельной для последовательности частичных сумм.

Опр. Послед (1) сходится равномерно кf(x) на множествеE, если

Опр. Говорят, что ряд (2) сходится равномерно на множествеE, если частичные суммы сходятся к сумме ряда равномерно.

Пример:

1. f_n(x)=x/n, E=[a,b] сх. равномерно

2. f_n(x)=x^n, E=[0,1) сх. Равн.

Теорема1.Критерий Коши. Пусть последовательность функций, определённых на множествеE. Для того, чтобы она равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы

Теорема. Критерий Коши для функциональных рядов.

Пусть опред. на мн-ве Е.

Тогда для равном. сх-ти данного ряда н. и д., чтобы

Теорема Вейерштрасса.

] - посл-ть ф-ий, опред на E. xE тогда если ряд сх-ся, то функц ряд имеет сумму при всех xE и сх-ся к ней равномерно на E.

Преобразование Абеля.

.

Теорема (Признак Дирихле).

Пусть дан ряд , опред. на мн-ве Х.

Если 1) монотонна при каждом х и равном.

2)последоват. частичных сумм огранич. на Х

Тогда ряд равном. сх-ся на Х.

□2)=>

Тогда

1)=> и

Применем нер-во Абеля

Для случая поменяем знаки у одновременно.

Теорема(Абеля). Если 1) посл-ть огранич. на Х

Т.е. и монотонна при каждом фиксир. Х.

2) равном сх-ся на Х. Тогда сх-ся равном. на Х.

□ Зададим и из 2)=>

Используем нер-во Абеля

По критерию Коши ряд сх-ся равномерно.

21. Теоремы о почленном интегрировании и диф-ии функционального ряда.

_Опр.Пусть (1) посл-ть ф-ий, определенных на некотором мн-ве ER. Если xE выполнено , то ф-ия f(x) наз-ся предельной ф-ей для посл-ти (1).

Говорят, что посл-ть (1) сх-ся равномерно к f(x) на мн-ве E, если >0 N(): n>N() xE.

Теорема 1. Пусть - посл-ть непрерывных ф-ий, равномерно сходящихся на [a,b] к ф-ии f(x), тогда .

Теорема 2. Если сх-ся равномерно на [a;b] к ф-ии f(x) и каждая f_n(x) интегрируема на [a;b], то и предельная ф-я f(x) интегрируема на [a;b] и указанную посл-ть можно интегрировать на [a;b] почленно, т.е. .

Теорема о почленном интегрировании равномерно сходящихся рядов.

Пусть сх-ся равномерно на [a;b] к своей сумме S(x) и каждый член этого ряда – интегрируемая на [a;b] ф-ия, тогда S(x) интегрируема на [a;b], причем ряд можно интегрировать почленно, т.е.

□ Так как ряд сх-ся равномерно на [a;b] к S(x), то последовательность частичных сумм сходится равномерно к S(x) и интегрируемы в силу интегрируемости  по теореме (1) f(x) интегрируема и

.

. Тогда

Теорема.Пусть - посл-ть непрерывно диф-х на [a,b] ф-й. Предположим 1)

сх-ся поточечно на [a;b]. 2) ( . - непрерывна). Тогда предельная функция f(x) имеет производную, причем .

□ Пусть , все - непрерывны ⇒ по теореме 1

Учитывая 1-ое условие теоремы получаем, что

_{т.к. по 2 условию теоремы} - непрерывна то по теореме о диф-ии интеграла по переменному верхнему пределу получаем что

В теореме нельзя отказаться от усл-я равномерной сх-ти производной даже если предполагать равномерную сх-ть самой посл-ти.

Теорема о почленном дифференцировании.

Пусть определены и непрерывно дифференцируемы на [a,b]. Предположим, что ряд сх-ся поточечно к S(x) и ряд сх-ся равномерно к (х) тогда S(x) имеет производную, причём .

□ Т.к выполняются все условия предыдущей теоремы, то теорема доказана