2.2. Построение линий влияния и эпюр изгибающих моментов
Балки нагружены равномерной нагрузкой от собственного веса G0=20 кН и двумя сосредоточенными грузами Р (от веса тележки с грузом), которые могут перемещаться по балкам.
Сосредоточенная нагрузка Р в тоннах (давление 1-го колеса тележки) для однобалочных мостов
,
где GТ - вес тележки с грузозахватным механизмом.
Рассчитаем распределённую нагрузку q:
,
где Go - собственный вес главной балки с фермой жесткости;
l - пролет балки.
При расчете балок, нагруженных крановыми тележками, для определения наибольших изгибающих моментов и поперечных сил необходимо сначала построить линии влияния М и Q для поперечных сечений (0,1l; 0,2l и т. д.). Далее следует определить усилие от нагруженной тележки с учетом того, что она занимает на балке разные положения, при которых усилия в изучаемых сечениях (0,1l; 0,2l и т. д.) являются наибольшими.
Разобьем условно балку на 10 равных частей. Обозначим расстояние груза до левой опоры через х. Определим опорные реакции балки:
Реакция
Реакция RA определяется уравнением наклонной прямой :
при х = О RA = 1;
при х = l RA=О.
При x = 0,1l = 0,1·18 = 1,8 (м)
при x = 0,2l = 0,2·18 = 3,6 (м)
при x = 0,3l = 0,3·18 = 5,4 (м)
при x = 0,4l = 0,4·18 = 7,2 (м)
при x = 0,5l = 0,5·18 = 9 (м)
Реакция
Реакция RB определяется уравнением наклонной прямой :
при х=О RB=0;
при х = l RB=1.
При x = 0,1l = 0,1·18 = 1,8 (м)
при x = 0,2l = 0,2·18 = 3,6 (м)
при x = 0,3l = 0,3·18 = 5,4 (м)
при x = 0,4l = 0,4·18 = 7,2 (м)
при x = 0,5l = 0,5·18 = 9 (м)
Линия влияния изгибающего момента М выражает зависимость величины момента в заданном сечении от положения груза, равного единице, на балке.
Допустим, что груз находится справа от сечения α. При этом изгибающий момент:
Построим линию влияния момента Мa из условия что
при х=0 Мa=1·а;
при х=l Мa = 0.
При x = 0,1l = 0,1·18 = 1,8 (м)
при x = 0,2l = 0,2·18 = 3,6 (м)
при x = 0,3l = 0,3·18 = 5,4 (м)
при x = 0,4l = 0,4·18 = 7,2 (м)
при x = 0,5l = 0,5·18 = 9 (м)
Допустим, что груз находится слева на расстоянии а от опоры. Изгибающий момент целесообразно выразить в этом случае через величину правой опорной реакции
Мa = RB (l — а) = 1 —x/l (l — а).
При х = О Мa=O;
при х = l Ma= l—a.
Так как было сделано предположение, что груз находится справа от сечения α, то построенная прямая верна на участке l - a.
Так как было предположено, что груз находится слева от сечения α, то построенная прямая верна на участке l - a.
Таким образом мы получаем линию влияния момента М для сечения a. Подобным образом строим линии влияния М для сечений 0,5l, 0,4l, 0,3l, 0,2l, 0,1l.
Максимальные ординаты уmax линий влияния для различных сечений х составят:
-
x,м
1,8
3,6
5,4
7,2
9
ymax
1,62
2,88
3,78
4,32
4,5
Определим моменты от веса тележки в каждом из сечений с учетом того, что один из сосредоточенных грузов располагается над вершиной линии влияния, а второй – на расстоянии L относительно первого. Момент от сосредоточенных сил вычисляется по формуле:
где уi – ордината линии влияния, т.е.
Максимальные моменты от веса тележки равны:
при x = 0,1l = 0,1·18 = 1,8 (м)
при x = 0,2l = 0,2·18 = 3,6 (м)
при x = 0,3l = 0,3·18 = 5,4 (м)
при x = 0,4l = 0,4·18 = 7,2 (м)
при x = 0,5l = 0,5·18 = 9 (м)
Момент в сечении х от равномерно распределенной нагрузки:
Максимальные моменты от равномерно распределенной нагрузки равны:
при x = 0,1l = 0,1·18 = 1,8 (м)
при x = 0,2l = 0,2·18 = 3,6 (м)
при x = 0,3l = 0,3·18 = 5,4 (м)
при x = 0,4l = 0,4·18 = 7,2 (м)
при x = 0,5l = 0,5·18 = 9 (м)
Суммарные моменты в сечениях от сосредоточенных сил и равномерной нагрузки:
Суммарные моменты равны:
при x = 0,1l = 0,1·18 = 1,8 (м)
при x = 0,2l = 0,2·18 = 3,6 (м)
при x = 0,3l = 0,3·18 = 5,4 (м)
при x = 0,4l = 0,4·18 = 7,2 (м)
при x = 0,5l = 0,5·18 = 9 (м)
Результаты расчетов представлены на чертеже «Эпюры линий влияния» (схема нагружения).
2.3. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ И ЭПЮР ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ
Линии влияния поперечной силы Q выражают зависимость величины поперечной силы в заданном сечении α от положения груза, равного единице, на балке.
Допустим, что груз находится справа от сечения а
Построим эту линию из условия, что
при х=0 Qa = 1;
при х = l Qa = О.
Прямая верна на участке х ≥ а .
При x = 0,1l = 0,1·18 = 1,8 (м)
при x = 0,2l = 0,2·18 = 3,6 (м)
при x = 0,3l = 0,3·18 = 5,4 (м)
при x = 0,4l = 0,4·18 = 7,2 (м)
при x = 0,5l = 0,5·18 = 9 (м)
Допустим, что груз находится слева от сечения а. При этом
При x=O Qa = О; при х=l Qa = -1.
Эта линия верна на участке х ≤ а, под исследуемым сечением она меняет знак.
При x = 0,1l = 0,1·18 = 1,8 (м)
при x = 0,2l = 0,2·18 = 3,6 (м)
при x = 0,3l = 0,3·18 = 5,4 (м)
при x = 0,4l = 0,4·18 = 7,2 (м)
при x = 0,5l = 0,5·18 = 9 (м)
Определим расчетные усилия от сосредоточенных сил в каждом из указанных сечений с учетом того, что одна из них располагается над вершиной линии влияния:
где уi – ордината линии влияния, т.е.
Поперечные силы QР равны:
при x = 0,1l = 0,1·18 = 1,8 (м)
при x = 0,2l = 0,2·18 = 3,6 (м)
при x = 0,3l = 0,3·18 = 5,4 (м)
при x = 0,4l = 0,4·18 = 7,2 (м)
при x = 0,5l = 0,5·18 = 9 (м)
Поперечные силы Q от собственной силы тяжести q:
Поперечные силы Qq равны:
при x = 0,1l = 0,1·18 = 1,8 (м)
при x = 0,2l = 0,2·18 = 3,6 (м)
при x = 0,3l = 0,3·18 = 5,4 (м)
при x = 0,4l = 0,4·18 = 7,2 (м)
при x = 0,5l = 0,5·18 = 9 (м)
Суммарные значения поперечных сил от сосредоточенных и равномерно распределенных нагрузок:
Суммарные значения поперечных сил равны:
при x = 0,1l = 0,1·18 = 1,8 (м)
при x = 0,2l = 0,2·18 = 3,6 (м)
при x = 0,3l = 0,3·18 = 5,4 (м)
при x = 0,4l = 0,4·18 = 7,2 (м)
при x = 0,5l = 0,5·18 = 9 (м)
Результаты расчетов представлены на чертеже «Эпюры линий влияния» (схема нагружения).