3. Методичні поради до виконання завдань

Для аналізу електричних кіл зазвичай використовують три методи: рівнянь Кірхгофа, контурних струмів та вузлових потенціалів.

3.1. Метод рівнянь Кірхгофа

В задачах аналізу потрібно визначити струми і напруги віток за відомими параметрами джерел, резисторів і конфігурації кола.

Якщо електричне коло має віток і вузлів, то за законами Кірхгофа для такого кола можна скласти відповідно і , а всього незалежних рівнянь, в яких бу­де 2 невідомих струмів і напруг віток. Використовуючи закон Ома, одержуємо ще рівнянь, які зв’язують напруги і струми між собою.

Отже, загалом будемо мати 2 рівнянь з 2 невідомими стру­ма­ми і напругами. Загальну кількість сумісно розв’язуваних рів­нянь легко зменшити до , виразивши всі струми через напруги ві­ток, або всі напруги через струми віток. Тоді одержуємо рівнянь з невідомими або лише струмами, або лише напругами віток. Найчастіше виражають напруги віток через струми, відразу запи­суючи рівняння за другим законом Кірхгофа для незалежних кон­турів у такій формі, щоб у лівій частині рівняння фігурували напруги на резистивних елементах віток у вигляді , а у правій части­ні фігурували ЕРС віток. Складнішими є зворотні задачі синтезу, в яких, наприклад, відомі струми і напруги на деяких ділянках кола, а потрібно знайти конфігурацію кола і параметри всіх елементів.

Алгоритм розрахунку кола методом рівнянь Кірх­гофа.

1. Визначаємо кількість вузлів і віток , довільно вибира­ємо напрями струму у вітках і складаємо рівнянь за першим законом Кірхгофа.

2. Вибираємо незалежні контури та довільно задаємо напрям їх обходу, бажано однаково, наприклад, за годинниковою стрілкою. Скла­даємо для кожного з незалежних контурів рівняння за другим законом Кірхгофа у вигляді

3. Розв’язок системи рівнянь дає невідомі струми.

4. Перевіряємо результати за балансом потужностей.

_{Очевидно, що потужності, які генеруються джерелами енергії, мають повністю споживатися} навантаженнями (резисторами), тобто в електричному колі має виконуватися баланс потужностей. Це наслідок закону збереження енергії:

Розглянемо електричне коло, приведене на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Схема електричного кола з трьома контурами

У колі вузлів , віток . Кількість рівнянь за першим законом Кірхгофа :

Кількість незалежних контурів:

.

Виділяємо прості контури і орієнтуємо напрями їх обходу за годинниковою стрілкою:

Отримана система з шести рівнянь з шістьма невідомими струмами. У колі (рис. 1.1) вузлів , віток . У вітці 8 струм відомий . Отже, загальна кількість віток з невідомими струмами дорівнює .

Кількість рівнянь за першим законом Кірхгофа .

Необхідна кількість рівнянь за другим законом Кірхгофа:

.

Рис. 1.2. Схема електричного кола з чотирма контурами

Складаємо ці рівняння для трьох незалежних простих контурів, позначених на рис. 1.2 римськими цифрами.

Складаємо рівняння балансу потужностей для кола рис. 1.2:

3.2. Метод контурних струмів

Метод базується на другому законі Кірхгофа і законі Ома. При аналізі кола вважають, що в кожному незалежному контурі протікає свій контурний струм. Рівняння для контурних струмів складають за другим законом Кірхгофа. Кількість рівнянь дорівнює кількості незалежних контурів. На рис. 1.3 зображено коло з двома незалежними контурами. струми у вітках кола, контурні струми. Очевидно, струми у вітках, через які проходить один контурний струм, дорівнюють цим контурним струмам: У вітках, через які проходять декілька контурних струмів, струми дорівнюють алгебраїчній сумі контурних струмів: .

Рис. 1.3. Схема електричного кола з двома контурами

За другим законом Кірхгофа:

Виражаємо струми у вітках через контурні струми:

або:

Введемо позначення:

власний опір першого контуру, тобто сума опорів віток, що належать першому контуру;

власний опір другого контуру, тобто сума опорів віток, що належать другому контуру;

спільний (взаємний) опір першого та другого контурів, тобто сума опорів віток, що належать одночасно першому і другому контурам;

контурна ЕРС першого контуру;

контурна ЕРС другого контуру.

Увага! ЕРС, які співпадають з вибраним напрямом контурного струму, входять у контурну ЕРС зі знаком «плюс». Рекомендується контурні струми спрямовувати однаково, наприклад, за годинниковою стрілкою, тоді в рівняннях всі взаємні опори фігурують зі знаком мінус (якщо вибрані елементарні незалежні контури у планарному колі).

В загальному вигляді рівняння, складені за методом контурних струмів, для будь-якого двоконтурного кола виглядають так:

Аналогічно записується система рівнянь для триконтурної схеми:

або у вигляді матриці: ,

де:

Розв’язуючи систему рівнянь будь-яким способом, наприк­лад, за правилом Крамера, отримуємо контурні струми:

де: ;

Контурні струми можна виразити через контурні ЕРС і алгебраїчні доповнення головного визначника системи рівнянь:

або

де головний визначник системи, алгебраїчні доповнення. В загальному вигляді для n-контурного кола

Будь-який контурний струм визначається співвідношенням

Для непланарного електричного кола незалежні контури слід визначати за допомогою дерева. Наприклад, розглянемо коло на рис. 1.4, а. У колі 5 вузлів (рис. 1.4, б). Дерево має чотири вітки. Кожна вітка зв’язку (пунктирні лінії, номери в кружечках) разом з відповідними вітками дерева (суцільні лінії) утворює незалежний контур (6 незалежних контурів).

а) б)

Рис. 1.4. Схема електричного кола (а) та його дерево (б)

Алгоритм розрахунку електричного кола методом контурних струмів.

1. Вибираємо незалежні контури і орієнтуємо в них контурні струми. При цьому через вітку, в якій є джерело струму без паралельно підімкненого резистора, має проходити лише один контурний струм, який дорівнює струму джерела. Рівняння для такого контуру не складається, тому що його струм відомий.

2. Визначаємо власні та спільні опори контурів і контурні ЕРС.

3. Будь-яким способом розв’язуємо систему рівнянь і визначаємо контурні струми.

4. За знайденими контурними струмами знаходимо струми у вітках схеми як алгебраїчні суми контурних струмів.