14. Проектирование оптимального производственного плана машиностроительного предприятия методом Гомори

15. Градиентный метод

Градиентом непрерывной однозначной функции j (обозначается grad j или Ñj ) называется вектор

,

где – частная производная функции по m-му параметру xm , – единичные векторы в направлении координатных осей.

Градиент функции Ñj представляет собой вектор перпендикулярный к

контуру поверхности j в пространстве параметров, который указывает направление наибольшего возрастания j в данной точке. Противоположный вектор задает направление наискорейшего спуска (рис. 2.3.1). Изменяя в функции отклика независимые переменные пропорционально величинам коэффициента регрессии, будем двигаться в направлении градиента функции отклика по самому крутому пути. Поэтому процедура движения называется "крутым восхождением". Величины составляющих градиента определяются формой поверхности отклика, начальной (нулевой) точкой и интервалами варьирования.

Длина вектора Ñj определяется по формуле:

(2.3.1)

Движение по градиенту осуществляется в следующем порядке:

1. Вычисляются составляющие вектора в точке (основной уровень): .

2. Последовательно прибавляют составляющие к основному уровню факторов: , где h_j – шаг движения.

3. Итерационный процесс заканчивается, когда выполняется неравенство: < e

Шаг движения по градиенту выбирается из следующих соображений. Небольшой шаг потребует значительного числа опытов при движении к оптимуму. Большой шаг увеличивает вероятность проскакивания области оптимума. Нижняя граница шага ограничена возможностью фиксирования двух соседних опытов, а верхняя – областью определения фактора.

Функция, величины коэффициентов которой различаются несущественно, называется симметричной относительно коэффициентов. Движение по градиенту наиболее эффективно для симметричной функции. Движение по градиенту считается эффективным, если реализация опытов приводит к улучшению значения целевой функции.

Градиентный метод оптимизации не решает вопроса о самой лучшей точке поверхности отклика при наличии нескольких экстремальных точек.

Рис. 2.3.1. Градиент функции  в точке А.

16. Оптимизация методом обобщенного приведенного градиента

Рассмотренные методы линейного программирования успешно применяются для решения задач большой размерности при ограничениях, записанных как в виде равенств, так и в виде неравенств. Способ решения задач нелинейного программирования с помощью процедуры, использующей линеаризацию только ограничений, оставляя целевую функцию нелинейной на всех этапах минимизации, используется в методе обобщенного приведенного градиента. Структура данного метода предполагает реализацию (по отношению к нелинейным функциям) линейно-аппроксимирующих процедур; определение новых переменных, ортогональных к некоторым ограничениям; приведение градиента целевой функции к преобразованному таким способом базису. В оптимизационной схеме могут использоваться ограничения в виде неравенств.

Методом приведенного градиента решаются задачи минимизации функции

j(х), где хÎ En , (2.4.1)

при ограничениях в виде равенств:

hi (x) = 0, i = 1, ... , m (2.4.2)

и ограничениях в виде неравенств:

Lj £ gj (x) £ Uj , j = 1, ... , k. (2.4.3)

Ограничения в виде неравенств (2.4.3) удается включить в оптимизационную схему путем вычитания из левых частей ограничений неотрицательных переменных, что превращает ограничения-неравенства в ограничения-равенства вида:

hi (x) = gi (x) - vi2 = 0 (2.4.4)

где - ¥ £ vi £ ¥

Переменные vi добавляются к n переменным исходной задачи.

Различают две системы переменных: m базисных (зависимых) переменных xi и (n - m) небазисных (независимых) переменных хК . При этом зависимые переменные определяются через независимые переменные. Следовательно, функция j(х) есть функция лишь (n - m) независимых переменных. Уравнения задающие ограничения не могут быть разрешены относительно зависимых переменных.

Задача оптимизации функции j(х) методом приведенного градиента решается следующим образом.

Пусть требуется минимизировать функцию j(х1, х2) при ограничении hi(х1, х2) = 0, (i = 1, ... , m). При бесконечных малых приращения х1 и х2 имеем:

dj (х1, х2) = dx1 + dx2 . (2.4.5)

Кроме того,

dh(х1, х2) = dx1 + dx2 = 0 . (2.4.6)

Выражения (2.4.5) и (2.4.6) линейны относительно dx1 и dx2 . Поэтому из выражения (2.4.5) либо dx1, либо dx2 можно исключить. Единственно допустимым перемещением является перемещение вдоль ограничения: dh(х1, х2) = 0.

Решим уравнение dh(х1, х2) =0 относительно dx2 :

dx2 = - dx1 .(2.4.7)

Полученное решение подставим в выражение (2.4.5)

dj (х1, х2) =( - ´ ) dx1 .(2.4.8)

Отсюда получим выражение для приведенного градиента:

= - ´ ´ (2.4.9)

Обозначим компоненты градиента целевой функции через ÑТХ1 j = и ÑТХ2 j = . Тогда выражение (2.4.9) записывается в форме:

Ñj = = ÑТХ1 j - ÑТХ2 j ´ ´ . (2.4.10)

Выражение (2.4.10) в общем случае имеет вид:

Ñj = = ÑТХК j - ÑТХM j´ ´ , (2.4.11)

где

= . . . – [1 ´ (n - m)] – мерная матрица

(матрица приведенного градиента),

ÑТХM j = . . . – [1 ´ (n - m)] –мерная матрица,

ÑТХКj = . . . – (1 ´ m) –мерная матрица,

h = – (m ´ 1) –мерная матрица,

. . .

= – m ´ m –мерная квадратная матрица («базисная» матрица),

. . .

. . .

= [m  (n - m)] –мерная матрица.

. . .

Следует отметить, что число составляющих вектора приведенного градиента  равняется числу независимых переменных.

Алгоритм обобщенного приведенного градиента начинает работать с начальной точки . Значения составляющих приведенного градиента z(K)= служат ориентиром при отыскании оптимального вектора . Направления оптимизационного поиска j(K) (j=m+1, ... , n), соответствующие независимым переменным, через значения составляющих приведенного градиента определяются следующим образом:

если хj(K) = Uj и zj(K)  0,

j(K) = 0 (2.4.12)

если хj(K) = Lj и zj(K)  0,

j(K) = - zj(K), если Lj  хj(K)  Uj (2.4.13)

Поиск состоит в отыскании точки, в которой приведенный градиент целевой функции  обращается в нуль.