6. Оптимизация методом последовательного симплекса

Последовательный симплексный метод относится к методам поиска экстремума целевой функции, применение которого требует проведения минимально возможного числа опытов при определении направления движения.

Симплексом называется простейшая выпуклая геометрическая фигура. Под n–мерным симплексом понимают фигуру, образованную множеством (n+1) точек. Эти точки называются вершинами симплекса. В двухмерном пространстве симплексом является треугольник, в трехмерном пространстве - тетраэдр.

Симплекс называется регулярным, если расстояние между всеми точками, образующими симплекс, одинаковы. Из произвольного симплекса всегда можно получить регулярный путем преобразования системы координат. В симплексном методе оптимизации будем использовать только регулярные симплексы.

Начальный симплекс может быть построен двумя способами: с вершиной в начале координат и с центром в начале координат.

Таблица 2.2.1. Координаты вершин симплекса с вершиной в начале координат

Номер вершины i	Координаты вершин симплекса
	Х1	Х2	Х3	…	Хn
1 2 3 4 … n+1	0 p g g … g	0 g p g … g	0 g g p … g	… … … … … …	0 g g g … p

Симплекс целесообразно использовать в нормированном виде, т.е. с длиной ребер равной единице. При единичной длине ребра симплекса значения p и g равны:

(2.2.1)

Координаты вершин симплекса с центром в начале координат приведены в матрице табл. 2.2.2, где обозначены:

, . (2.2.2)

Изменение каждого управляющего параметра на единицу приводит приблизительно к одинаковому изменению целевой функции.

Таблица 2.2.2. Координаты вершин симплекса с центром в начале координат

Номер вершины i	Координаты вершин симплекса
	Х1	Х2	Х3	…	Хn
1 2 3 4 … n+1	-r1 R1 0 0 … 0	-r2 -r2 R2 0 … 0	-r3 -r3 -r3 R3 … 0	… … … … … …	-rn -rn -rn -rn … Rn

Экспериментальное определение оптимума целевой функции осуществляется с помощью следующей процедуры:

1. Вычисляются координаты начального симплекса.

2. Отбрасывается точка плана с наихудшим значением целевой функции и строится новый симплекс. Новый симплекс образуется оставшимися вершинами исходного симплекса и новой вершиной, получаемой путем зеркального отображения отброшенной вершины относительно противоположной грани исходного симплекса.

Координаты новой точки в векторной форме определяются по следующей формуле:

= - ( + 1) , (2.2.3)

где j – номер вершины исходного симплекса с наихудшим значением целевой функции.

Прогнозируемое значение целевой функции в новой точке равно:

. (2.2.4)

3. В новой точке проводится эксперимент, и получают соответствующее значение целевой величины y*.

4. Симплекс последовательно перемещается. На каждом шаге происходит отбрасывание вершины симплекса с наихудшим значением целевой функции и реализуется опыт в новой вершине.

5. Оптимум считается достигнутым, если одна и та же точка входит в последовательные симплексы n раз и выполняется условие:

  , (2.2.5)

где  – принятое допустимое значение, yСР – среднее значение целевой функции в вершинах симплекса.

Геометрическая интерпретация симплексного метода показана на рис. 2.2.1. Основными преимуществами последовательного симплексного метода являются слабая чувствительность к форме минимизируемой поверхности и повышение эффективности метода с увеличением числа факторов. Однако метод не дает информации о влиянии каждого фактора на целевую функцию.