19. Нүкте қозғалысы векторлық тәсілмен берілгенде, оның жылдамдығы мен үдеуін анықтау.

Нүктенің t уақыттағы орны r(t), ал t + ∆t уақыттағы орны r(t + ∆t) r радиус-векторымен анықталсын (2.4-сурет). Осы векторлардың айырмасын ∆r арқылы белгілейміз, яғни

∆r = r(t + ∆t) – r(t)

Бұл вектор нүктенің элементар ∆t уақыттағы элементар орын ауыстыруы деп аталады.

Элементар ∆r орын ауыстыру векторының элементар ∆t уақытқа қатынасы нүктенің орташа жылдамдығы деп аталады:

Жылдамдықтың өлшем бірлігі ретінде м/с немесе км/сағ қолданылады.

Нүктенің үдеуі деп уақыт өткен сайын оның жылдамдығының модулі мен бағытының өзгеруін сипаттайтын векторлық шаманы айтады.

Қозғалыстағы нүктенің t уақыттағы орны М жылдамдығы V, ал t+∆t уақыттағы орны М1 жылдамдығы V1 болсын (2.5-сурет). V1 векторын М1 нүктеден М нүктеге көшіріп, ∆t уақыт аралығындағы жылдамдықтың өзгеру векторы деп аталатын вектор енгіземіз: ∆V = V1-V

Осы вектордың өзгеріс болатын уақытқа қатынасы ∆t уақыт аралығындағы нүктенің орташа үдеуі деп аталады:

Үдеудің өлшем бірлігі ретінде м/сек2 қолданылады.

20. Нүкте қозғалысы координаталық тәсілмен берілгенде, оның жылдамдығы мен үдеуін анықтау.

Осыдан нүкте жылдамдығы векторының декарттық координат өстеріне проекцияларын аламыз:

, , .

Нүкте жылдамдығының шамасы (модулі) мына өрнекпен:

Осыдан нүкте үдеуінің векторының декарттық координа өстеріне проекцияларын аламыз:

, , .

нүкте үдеуінің шамасы (модулі) келесі өрнекпен анықталады:

21.Нүкте қозғалысы табиғи тәсілмен берілгенде, оның жылдамдығы мен үдеуін анықтау. 𝑉=lim∆𝑡⇾0∆𝑟∆𝑡=lim∆𝑡⇾0∆𝑟∆𝜎∗∆𝜎∆𝑡=lim∆𝑡⇾0∆𝑟∆𝜎∗lim∆𝑡⇾0∆𝜎∆𝑡

lim∆𝑡⇾0∆𝜎∆𝑡=𝑑𝜎𝑑𝑡=𝜎̇

lim∆𝑡⇾0∆𝑟∆𝜎=𝑑𝑟𝑑𝜎=𝜏

Қозғалысы табиғи тəсілмен берілген нүктенің жылдамдық векторының өрнегін аламыз: 𝑉=𝑑𝜎𝑑𝑡𝜏

Енді нүкте жылдамдығы векторының жанама өске проекциясын анықтайтын белгілеу енгізуге болады (𝑉𝜏=𝑑𝜎𝑑𝑡=𝜎̇), сонда жылдамдық векторы былай өрнектеледі: 𝑉=𝑉𝜏∗𝜏

Нүктенің үдеуін анықтау үшін қозғалыс кезінде t векторы бағытын өзгертетінін ескере отырып, нүктенің жылдамдық векторынан бірінші туынды аламыз 𝑎=𝑑𝑉𝑑𝑡=𝑑𝑉𝜏𝑑𝑡𝜏+𝑉𝜏𝑑𝜏𝑑𝑡

𝑎=𝑑𝑉𝜏𝑑𝑡𝜏+𝑉2𝑅𝑛

Үдеудің жанама құраушысы 𝑎𝜏=𝑑𝑉𝜏𝑑𝑡𝜏

Үдеудің нормаль құраушысы 𝑎𝑛=𝑉2𝑅𝑛

нүктенің толық үдеуінің векторы үдеудің жанама жəне нормаль құраушыларының геометриялық қосындысына тең: 𝑎=𝑎𝜏+𝑎𝑛

22.Қатты дененің ілгерілемелі қозғалысы. Ілгерілемелі қозғалыстағы дене нүктелерінің траекториясы, жылдамдықтары мен үдеулері туралы теорема.

Дене қозғалғанда оның бойындағы бір түзу кесінді өзіне өзі параллель болып қалса, онда дененің қозғалысы ілгерілемелі қозғалыс деп аталады (2.11-сурет).

Бұл жағдайда дене нүктелерінің қозғалысы келесі теоремамен анықталады: ілгерілемелі қозғалыстағы дененің барлық нүктелері бірдей траекториялар сызады, берілген уақытта оның барлық нүктелерінің жылдамдықтары мен үдеулері бірдей болады.

Теореманы дəлелдеу үшін қатты дененің кез келген А жəне В екі нүктесін алып, олардың Ar r жəне Br r радиус-векторларын жүргіземіз (2.11-сурет). Сонда

rB = rA + AB.

Дене абсолют қатты болғандықтан АВ = А1В1. АВВ1А1 параллелограмм болғандықтан, АА1 қисығын АВ арақашықтыққа жылжытып, ВВ1 қисығын алуға болады. Демек, А мен В нүктелерінің траекториялары бірдей болады.

Енді (10.1) өрнегінің екі жағынан да уақыт бойынша туынды аламыз:

rB = rA+AB; бұл жердегі rB = vB, rA = vB. AB = const болғандықтан, AB = 0. Демек: vB = vA

Ал vB = vA, сондықтан aB=aA. Нəтижесінде, теорема дəлелденді

Сонымен, ілгерілемелі қозғалыстағы дененің бір нүктесінің қозғалысын зерттеген жеткілікті болады. Басқа нүктелер дəл осы нүкте сияқты қозғалып, дене кинематикасының мəселесі нүкте кинематикасының мəселесіне тіреледі.