42. Материялық нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теорема.

1. Нүкте үдеуінің векторы жылдамдық векторынан уақыт бойынша алынған бірінші туындыға тең екенін ескерсек, нүкте динамикасының негізгі заңын ( ) былай жазуға болады: . (3.3.4)

(3.3.4) – нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теореманың дифференциалдық түрі: нүктенің қозғалыс мөлшерінен уақыт бойынша алынған туынды нүктеге әсер ететін барлық күштердің геометриялық қосындысына тең.

күштері әсер ететін М нүктенің ден –ге дейінгі шекті уақыт аралығында М₀-ден М₁-ге орын ауыстыруын қарастырайық. Оның жылдамдығы -ден -ге дейін өзгерсін. (3.4.4) теңдеуінің екі жағын да dt-ға көбейтіп, екі жағынан да интеграл алайық:

немесе .

Егер (3.3.2) өрнегін ескеретін болсақ:

. (3.3.5)

(3.3.5) – нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теореманың интегралдық (шекті) түрі: шекті уақыт аралығындағы нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі осы уақыт аралығында нүктеге әсер ететін барлық күштер импульстерінің геометриялық қосындысына тең.

Есеп шығарғанда (3.3.5) теореманы координата өстеріне проекциялау керек. Декарттық координата жүйесінің өстеріне проекцияласақ:

(3.3.6)

43. Материялық нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема.

Нүкте динамикасының негізгі теңдеуін (Ньютонның екінші заңы) қолданып, келесі теңдеуді алуға болады:

, (3.3.25)

бұл теңдеу нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманың дифференциалдық түрі деп аталады: нүктенің кинетикалық энергиясының толық дифференциалы нүктеге әсер ететін барлық күштердің элементар жұмыстарының қосындысына тең.

Бұл теоремадан

(3.3.26)

екенін көреміз, яғни нүктенің кинетикалық энергиясының толық дифференциалы нүктеге әсер ететін барлық күштердің қуаттарының қосындысына тең.

Нүкте бастапқы М₀ орыннан М₁-ге орын ауыстырғанда оның бастапқы жылдамдығы -ден -ге дейін өзгеретінін ескеріп, (3.3.25) теңдеуін интегралдаймыз, сонда:

. (3.3.27)

(3.3.27) теңдеуі нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теоре- маның интералдық (шекті) түрін береді: нүкте шекті орын ауыстырғанда оның кинетикалық энергиясының өзгеруі осы орын ауыстыруда оған әсер ететін барлық күштердің жұмыстарының алгебралық қосындысына тең.

3. Материялық нүкте үшін Даламбер принципі. Материялық нүкте үшін Даламбер принципі нүкте динамикасының есептерін статиканың қарапайым әдістерімен шығаруға мүмкіндік береді.

актив күштері мен реакция күші әсер ететін материялық нүктені қарастырайық. Бұл нүкте үшін динамиканың негізгі заңы:

.

Осы заңды былай жазайық:

. (3.4.1)

Мынадай белгілеу енгізейік:

. (3.4.2)

векторы материялық нүктенің инерция күші деп аталады. Оның модулі нүктенің массасы мен үдеуінің көбейтіндісіне тең, ал бағыты үдеу векторына қарсы.

(3.4.2) ескерсек (3.4.1) теңдеуі мынадай түрге келеді:

. (3.4.3)

44. Қуат.

Күштің кез келген М₀М₁ орын ауыстырудағы жұмысы элементар жұмыстан осы орын ауыстыру бойынша алынған интегралға тең.

(3.3.11) – (3.3.14) өрнектеріне сәйкес күш жұмысының төрт түрлі өрнегі:

, (3.3.15)

, (3.3.16)

, (3.3.17)

. (3.3.18)

Барлық жағдайларда интеграл М₀М₁ қисығы бойымен алынады.

Уақыт бірлігі аралығында орындалатын күштің жұмысын анықтайтын шама қуат деп аталады. Егер жұмыс бірқалыпты орындалса, қуат

,

мұндағы t – жұмыс жасалатын уақыт. Жалпы жағдайда

, (3.3.19)

демек, күш қуаты күші мен нүкте жылдамдығының скалярлық көбейтіндісіне тең.