37. Еркін материялық нүктенің табиғи өстердегі дифференциалдық теңдеулері.

Нүкте қозғалысының табиғи өстерге проекцияланған дифференциалдық теңдеулерін аламыз:

,

,

.

38. Материялық нүкте динамикасының екі мәселесі.

Қозғалысы басқа денелермен шектелмеген нүктені еркін материалдық нүкте дейді. Осындай нүкте үшін динамиканың екі негізгі мəселесі қарастырылады.

Динамиканың бірінші негізгі мəселесі. Нүктенің массасын жəне қозғалыс заңын біле отырып, оған əсер ететін күштерді анықтау.

Динамиканың екінші негізгі мəселесі. Нүктенің массасын жəне оған əсер ететін күштерді біле отырып, оның қозғалыс заңын анықтау.

39. Материялық нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін интегралдау. Интегралдаудағы еркін тұрақтыларды анықтау.

Интеграл жоғары математика курсынан белгілі əдістермен əрі алынған теңдеулердің түріне, яғни оның оң жағына байланысты алынады. Нүктеге тұрақты күшпен қатар тек t уақытқа немесе тек х қашықтыққа, əлде тек V жылдамдыққа тəуелді бір айнымалы күш əсер еткен жағдайда, түзу сызықты қозғалыстағы нүктенің дифференциалдық теңдеуін айнымалыларды ажырату əдісімен интегралдауға болады. Егер есептің шарты бойынша тек жылдамдықты анықтау керек болса, онда (15.6) немесе (15.7) дифференциалдық теңдеулердің біреуін интегралдаумен шектеледі.

Интегралдау тұрақтыларын анықтау үшін есептің шартынан (15.9) түрдегі нүкте қозғылысының бастапқы шарттарын жазып алу керек. Интегралдау тұрақтыларының мəндері бастапқы шарттардың көмегімен §77-дегі мысалда көрсетілгендей анықталады. Алайда, интегралдау тұрақтыларын əрбір интегралдау амалынан кейін бірден анықтап отыруға да болады.

40. Ауырлық, үйкеліс және серпімділік күштерінің жұмысы.

Ауырлық күшінің жұмысын былай жазуға болады: A = ±mgh.

Ауырлық күшінің жұмысы плюс немесе минус таңбасымен алынған ауырлық күші модулі мен вертикаль орын ауыстырудың көбейтіндісіне тең. Плюс таңбасы нүкте төмен қарай, ал минус таңбасы жоғары қарай орын ауыстырғанда алынады.

Серпімділік күшінің жұмысы:

Серпімділік күшінің жұмысы серіппенің серпімділік коэффициенті мен оның бастапқы жəне соңғы деформацияларының квадраттарының айырмасының көбейтіндісінің жартысына тең.

Егер үйкеліс күші тұрақты болса оның жұмысы мынаған тең: A=-F*s=-f*N*s

Cырғанау үйкелісі күшінің жұмысы əрқашан теріс таңбалы болады.

41. Күш жұмысы және қуаты.

1. Күш жұмысы. Қуат. Нүкте орын ауыстырғандағы күш әсерін сипаттау үшін жұмыс ұғымын қолданады. М нүктесіне әсер ететін күшінің (3.1 сурет) элементар жұмысы деп мына скаляр шаманы айтады

(3.3.11)

мұндағы - күшінің М жанама өске проекциясы (немесе күшінің М нүктесінің жылдамдығы бағытына проекциясы); ds – М нүктесінің элементар орын ауыстыруы.

( - күші мен М өсі арасындағы бұрыш) болғандықтан, (3.3.11) өрнегінен күштің элементар жұмысының тағы бір өрнегін аламыз:

. (3.3.12)

(3.3.12) өрнегінен мынаны тұжырымдаймыз:

1. Егер  бұрышы сүйір болса (0<<90⁰), жұмыс оң таңбалы болады. Ал  = 0 болғанда элементар жұмыс .

2. Егер  бұрышы доғал болса (90⁰ <  < 180⁰), жұмыс теріс таңбалы болады. Ал  = 180⁰ болғанда элементар жұмыс .

3. Егер  = 90⁰ болса, яғни күш векторы жүріп өткен жолға немесе жылдамдыққа перпендикуляр бағытталса, күштің элементар жұмысы нөлге тең болады.

Бізге кинематикадан екені белгілі (бұл жердегі - нүктенің элементар орын ауыстыру векторы), сондықтан элементар жұмысты былай жазуға болады:

,

бұл – және векторларының скалярлық көбейтіндісі, яғни

. (3.3.13)

(3.3.13) өрнегін векторлардың проекциялары арқылы да жазуға болады:

, (3.3.14)

мұндағы x, y, z – күшінің түсу нүктесінің координаталары.

(3.3.11), (3.3.12), (3.3.13) және (3.3.14) өрнектерінің бәрі күштің элементар жұмысы.

Күштің кез келген М₀М₁ орын ауыстырудағы жұмысы элементар жұмыстан осы орын ауыстыру бойынша алынған интегралға тең.

(3.3.11) – (3.3.14) өрнектеріне сәйкес күш жұмысының төрт түрлі өрнегі:

, (3.3.15)

, (3.3.16)

, (3.3.17)

. (3.3.18)

Барлық жағдайларда интеграл М₀М₁ қисығы бойымен алынады.

Уақыт бірлігі аралығында орындалатын күштің жұмысын анықтайтын шама қуат деп аталады. Егер жұмыс бірқалыпты орындалса, қуат

,

мұндағы t – жұмыс жасалатын уақыт. Жалпы жағдайда

, (3.3.19)

демек, күш қуаты күші мен нүкте жылдамдығының скалярлық көбейтіндісіне тең.

2. Жұмысты есептеу мысалдары. Есеп шығарғанда қолданатын күш жұмысын санау өрнектерін алайық.

1. Ауырлық күшінің жұмысы. Ауырлық күші әсер ететін нүкте бастапқы М₀ (x₀, y₀, z₀) орнынан М₁ (x₁, y₁, z₁)-ге орын ауыстырсын. Ауырлық күшінің жұмысын (3.3.18) өрнегімен есептейік, сонда

, (3.3.20)

- нүктенің орын ауыстыру биіктігі.

Демек, ауырлық күшінің жұмысы плюс немесе минус таңбамен алынған ауырлық күштің модулінің вертикаль орын ауыстыруға көбейтіндісіне тең екен. Плюс таңбасы нүкте төмен орын ауыстырғанда, ал минус таңбасы нүкте жоғары қарай орын ауыстырғанда алынады.

2. Серпімділік күшінің жұмысы. Серіппенің бос ұшына бекітілген және горизонталь жазықтықта жатқан М жүгін қарастырайық (3.2 сурет). Координатаның О бас нүктесі етіп созылмаған серіппенің ұшын аламыз ( –деформацияланбаған серіппенің ұзындығы). Егер жүкті О тепе-теңдік орнынан серіппенің ұзындығы болатындай етіп созсақ, серіппе -ге созылады да, жүкке О нүктесіне бағытталған серпімділік күші әсер етеді. 3.2 суреттен екенін көреміз, сондықтан серпімділік күшін былай жазуға болады:

және

мұндағы с – серіппенің серпімділік коэффициенті.

Жүк бастапқы М₀(х₀) орнынан М₁(х₁)-ге орын ауыстырғандағы серпімділік күшінің жұмысын, деп алып, (3.3.18) теңдеуінен анықтаймыз:

.

Бұл өрнектегі х₀ серіппенің ₀ бастапқы деформациясы, ал х₁ – ₁ соңғы деформациясы. Сондықтан серпімділік күшінің жұмысын былай жазуға болады:

. (3.3.21)

Демек, серпімділік күшінің жұмысы серіппенің серпімділік коэффициентінің жартысын бастапқы және соңғы деформациялар квадраттарының айырмасына көбейткенге тең.

(3.3.21) өрнегі М нүктесінің орын ауыстыруы түзу сызықты болмаса да орын алады. Бұл серпімділік күшінің жұмысы нүкте траекториясының түріне тәуелді емес екендігін көрсетеді.

3. Үйкеліс күшінің жұмысы. Егер нүкте кедір-бұдырлы жазықтықпен қозғалса, оған әсер ететін үйкеліс күшінің модулі f N болады. Бұл жерде f – үйкеліс коэффициенті, ал N – жазықтықтың нормаль реакциясы. Үйкеліс күші қозғалысқа қарсы бағытталғандықтан және (3.3.15) өрнегі бойынша

. (3.3.22)

Егер үйкеліс күші тұрақты болса, онда

, (3.3.23)

s – нүкте қозғалатын М₀М₁ қисық доғаның ұзындығы.

Сонымен, сырғанау үйкелісі күшінің жұмысы әрқашан теріс таңбалы және нүктенің жүріп өткен жолына тәуелді екен.

4. Тартылыс күшінің жұмысы. Жер беті маңындағы нүктеге әсер ететін тартылыс күшінің жұмысы мына өрнекпен анықталады:

. (3.3.24)

Егер болса бұл жұмыс оң таңбалы, ал болса бұл жұмыс теріс таңбалы болады. Тартылыс күшінің жұмысы нүктенің траекториясына тәуелді емес.