36. Масса туралы ұғым. Инерциялық санақ жүйесі. Еркін материялық нүктенің декарт координат өстеріндегі дифференциалдық теңдеулері.

Масса – материяның инерциялық және гравитациялық қасиетін анықтайтын физикалық шама. Латынның massa – үйінді, кесек деген сөзінен алынған. “Масса” ұғымын механикаға Исаак Ньютон енгізген. Ньютонның классикалық механикасындағы масса дене импульсінің (қозғалыс мөлшерінің) анықтамасына енеді. Дене импульсі (р) дененің , (1) мұндағы) пропорционал болады: р=mқозғалу жылдамдығына ( пропорционалдық коэффициент m – берілген дене үшін тұрақты шама, оның массасы. Массаның эквиваленттік анықтамасы Ньютон классикалық механикасының қозғалыс теңдеуінен шығады: f=ma (2) Бұл жерде масса денеге әсер ететін күш (f) пен осы күштің салдарынан болатын дененің үдеуі (а) арасындағы пропорционалдық коэффициент (1) және (2) қатынастарынан анықталатын масса инерциалдық немесе инерттік масса деп аталады. Ол дененің динамикалық қасиетін сипаттайды әрі дене инерциясының өлшеуіші болып есептеледі. Ньютонның гравитациялық теориясында масса тартылыс өрісінің көзі ретінде алынады. Әрбір дене өзінің массасына пропорционал болатын тартылыс өрісін туғызады. Осы өріс салдарынан пайда болатын денелер арасындағы тартылыс күші Ньютон ашқан бүкіл әлемдік тартылыс заңы бойынша анықталады: f = G (3)

мұндағы r – денелердің массалар центрі арасындағы қашықтық, G – әмбебап гравитациялық тұрақты, m1 және m2 – тартылатын денелердің массасы. (3) формуладан Жердің тартылыс өрісінде дененің m массасы мен оның Р салмағы арасындағы тәуелділікті алуға болады: Р = mg, (4) мұндағы g = GМ/r2 – жердің гравитациялық өрісіндегі еркін түсу үдеуі (М – Жердің массасы, r ≈ R, ал R – Жер радиусы). (3) және (4) қатыстары бойынша анықталатын масса дененің гравитациялық массасы деп аталады. Классикалық физикада дене массасы ешбір процесс кезінде өзгермейді деп саналады [Массаның (заттың) сақталу заңы].

Сонымен масса энергиямен әрқашанда байланыста болады. Сондықтан релятивистік механикада классикалық физикадағы екі заң – массаның сақталу заңы мен энергияныңсақталу заңы – бөлек-бөлек емес, толық энергияның сақталу заңы деп аталатын бір заңға біріктірілген. Масса бірлігіне бірліктердің СГС жүйесінде – грамм (г), ал бірліктердің халықаралық жүйесінде (СИ) – килограмм (кг) алынады. Атомдар мен молекулалар массасы, әдетте массаның атомдық бірлігімен өлшенеді. Элементар бөлшектердің массасын не электрон массасы (mе) бірлігімен не бөлшектің тыныштық энергиясын көрсете отырып, энергетикалық бірлікпен өлшейді. Электрон массасы (mе) 0,511 МэВ, протон массасы – 1836,1 me немесе 938,2 МэВ, т.б. құрайды. Массаның табиғатын ашу – қазіргі физиканың шешілмеген маңызды міндеттерінің бірі. Элементар бөлшектердің массасы олардың өздері байланысқан өрістер (электрмагниттік, ядролық, т.б.) арқылы анықталады деп қабылданған. Алайда массаның сандық теориясы әлі жасалған жоқ.

Инерциялық санақ жүйесі – инерция заңы орындалатын санақ жүйесі. Инерциялық санақ жүйесімен салыстырғанда ілгерілемелі, бірқалыпты және түзу сызықты қозғалған кез келген санақ жүйесі де инерциялық санақ жүйесі болады. Сондықтан теория жүзінде, физика заңдары бірдей орындалатын (салыстырмалылық принципі) инерциялық санақ жүйесімен бір мәндес жүйенің саны көп болуы мүмкін. Сондай-ақ кез келген инерциялық санақ жүйесінде Ньютонның 2-заңы және қозғалыс мөлшерінің (импульстің) сақталу заңы, қозғалыс мөлшері моментінің сақталу заңы, т.б. орындалады. Инерциялық санақ жүйесімен салыстырғанда үдей қозғалатын санақ жүйесі инерциялық санақ жүйесі бола алмайды және онда инерция заңы мен жоғарыда аталған заңдар орындалмайды. «Инерциялық санақ жүйесі» ұғымы ғылыми абстракция болып есептеледі. Нақты (реал) санақ жүйесі әрдайым қандайда бір нақты денемен (мысалы, Жермен, кеменің не ұшақтың қорабымен, т.б.) байланыстырылады және оларға қатысты қандайда бір нысанның қозғалысы зерттеледі. Табиғатта қозғалмайтын денелер болмайтындықтан, кез келген нақты санақ жүйесі инерциялық санақ жүйесіне белгілі бір дәрежеде жуық жүйе деп есептелінеді. Инерциялық санақ жүйесінің біреуінен екіншісіне ауысқан кезде, кеңістіктік координаттар мен уақыт үшін Ньютонның классикалық механикасында Галилей түрлендіруі, ал релятивистік механикада Лоренц түрлендірулері орындалады.

Материялық нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін интегралдау. Материялық нүктенің инерциалдық санақ жүйесіндегі орнын радиус-векторымен анықтаймыз. Нүктеге әсер ететін күш жалпы жағдайда t уақытқа, нүктенің орнына, яғни радиус-векторға және нүктенің жылдам- дығына тәуелді бола алады, яғни . Егер нүктенің үдеуі , ал жылдамдығы екенін ескерсек, Ньютонның екінші заңы немесе нүкте динамикасының негізгі теңдеуі былай жазылады:

. (3.2.4)

(3.2.4) – векторлық түрдегі нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеуі.

(3.2.4) теңдеуі декарттық координата жүйесінің өстеріне проекцияланған үш скаляр теңдеуге пара-пар:

. (3.2.5)

Нүкте динамикасының екінші мәселесінің шешуі x, y, z белгісіз функция- ларына қатысты екінші дәрежелі дифференциалдық теңдеулерді интегралдауға тіреледі.

Бұл теңдеулердің жалпы шешімі С₁, С₂, …, С₆ алты интегралдау тұрақтыларына тәуелді:

(3.2.6)

Интегралдау тұрақтылары әртүрлі мәнге ие бола алады, сондықтан бірдей күш әсер ететін нүкте түрлі қозғалыс жасай алады. Сонымен, нүкте қозғалысының нақты заңын анықтау үшін тек күштің берілуі жеткіліксіз екен. (3.2.6) шешуі шығарылып отырған нақты мәселеге сәйкес болу үшін қозғалыстың бастапқы шарттарын беру қажет, яғни нүктенің бастапқы орны мен бастапқы жылдамдығын беру қажет екен.

Декарттық координата жүйесінде сәйкес проекцияларды беру керек. Бастапқы шарттар:

t=0: . (3.2.7)

(3.2.7) бастапқы шарттар (3.2.6) шешулері мен олардың бірінші туындыларына қойылады. Осылай алынған теңдеулерден интегралдау тұрақтылары табылады

(3.2.8)

Табылған тұрақтыларды (3.2.6) жалпы шешімге қойып, берілген бастапқы шарттарға сәйкес келетін есептің шешуін аламыз.