Задача Д1

Траектория снаряда при стрельбе из пушки – настильная (схемы 0, 2, 3, 8), из гаубицы (схемы 1, 5, 7) и миномета (схемы 4, 6, 9) – навесная.

Известны ландшафт и скорость снаряда на выходе из ствола орудия v₀, а также заданное расстояние до цели. Начало системы отсчета необходимо поместить в точку А, В, С или D, сопротивлением воздуха пренебречь.

Определить:

1) угол α положения ствола пушки, гаубицы или миномета;

2) время полета Т снаряда до цели и его скорость в момент попадания в цель v_В.

Исходные данные: вариант 1244

1	2		4		4
v0, км/ч	АВ, км	β, град	АС, м	Начало отсчета в точке	№ схемы
900	3,0	15	220	А	4

Решение:

1. Рассмотрим движение снаряда, принимаемого за материальную точку (МТ) в ПНО Аху.

2. Заданные силы: .

3. Связи: нет.

4. ( ).

5. Составим дифференциальные уравнения движения МТ:

(1)

Интегрируем (1):

Начальные условия при t = 0:

(2)

(3)

Из (2) выражаем t: , подставляем в у(t):

(4) – уравнение движения МТ.

При t = Т – в конечный момент времени:

(5)

Для точки В:

Определим х_С и у_С:

Из ∆АА₁С:

Из уравнений (5) для точки В:

;

;

;

Подставляем в (5):

.

Траектория движения снаряда – навесная, принимаем:

Определяем время полета:

Определяем скорость в точке В:

Задача Д2

Найти закон движения груза 1 (схемы 0,1, 3, 4, 7, 8, 9) или системы грузов (схемы 2, 5, 6). Начало отсчета обобщенной координаты совместить с положением статического равновесия механической системы.

Массы грузов m₁, m₂, жесткости пружины с₁, с₂, с₃, сила сопротивления в демпфере пропорциональна скорости груза R = b·v. Массами абсолютно жестких брусков, соединяющих пружины и грузы, демпферов пренебречь. Стержни, соединяющие грузы, считать невесомыми и недеформированными.

Определить:

1) закон движения груза;

2) частоту, период и амплитуду колебаний груза.

Исходные данные: вариант 1244

1		2		4			4
m1, кг	с1, Н/см	m2, кг	b, Н·с/м	с2, Н/см	α, град	S, см	с, Н/см	№ схемы	в начальный момент t=0
0,8	2,2	0,4	3	8,5	20	90	7,2	4	Падает груз 1

Решение:

1. Рассмотрим движение системы груза 1 в ПНО ХУ.

2. Заданные силы: .

3. Связи: гладкая поверхность , упругие элементы ; демпфирующий элемент .

4. ( ).

5. Дифференциальное уравнение движения груза 1:

,

где ; .

, (1)

f_ст – статическое растяжение, определяется из условия равновесия:

,

подставляем в (1):

(2) – уравнение затухающих колебаний,

Решение уравнения (2):

где

– амплитуда колебаний;

– частота колебаний;

– фаза колебаний.

Начальные условия:

;

.

Закон движения груза:

Период затухающих колебаний:

Задача Д4

Тонкий стержень, расположенный в вертикальной плоскости, изогнут таким образом, что состоит из двух прямолинейных участков и дуги окружности радиуса R. На стержень нанизан шарик массой m.

Шарик начинает двигаться из точки А.

Определить:

1) скорость шарика в точках В, С, D и реакцию стержня в точке С;

2) величину, заданную в таблице.

Исходные данные: вариант 1244

1			2		4		4
m, кг	R, м	β, град	с, Н/см	f	vA, м/с	α, град	h0, см	№ схемы	шерохо-ватый участок	Опре-делить
0,15	1,6	20	1,2	0,20	16	50	15	4	DE	S

Решение:

I. Участок АВ

1. Рассмотрим движение шарика (материальной точки) в ПНО Аху.

2. Заданные силы: .

3. Связи: гладкая поверхность ( ); упругий элемент ( ).

4. ( )

5. Теорема об изменении кинетической энергии:

II. Участок ВС

1. Рассмотрим движение МТ в ПНО Вху.

2. .

3. гладкая поверхность ( ).

4. ( ).

5. Теорема об изменении кинетической энергии:

6. Принцип Даламбера в точке С: .

; ;

; .

Составляем уравнение проекций сил на ось У:

Определяем реакцию стержня в точке С:

III. Участок СD

1. Рассмотрим движение МТ в ПНО Сху.

2. .

3. гладкая поверхность ( ).

4. ( ).

5. Теорема об изменении кинетической энергии:

;

IV. Участок DЕ

1. Рассмотрим движение МТ в ПНО Dху.

2. .

3. шероховатая поверхность ( ).

4. ( ).

5. Теорема об изменении количества движения:

где

Задача Д6

Механическая система тел 1,2,3,4 движутся из состояния покоя. Тело 1 приводится в движение двигателем, создающим момент, изменяющимся по закону . Массы тел равны m₁, m₂, m₃, m₄, размеры колес 1 и 2 – r₁, R₂, r₂. Колесо 1 считать однородным диском, радиус инерции колеса 2 равен ρ₂.

Определить закон изменения угловой скорости движения тела 1 от времени .

Нити невесомые, нерастяжимые; проскальзыванием нитей пренебречь.

Исходные данные: вариант 1244

1		2			4			4
m1, кг	R2, см	m2, кг	r1, см	М1(t), Н·м	М, Н∙м	m3, кг	r2, см	m4, кг	ρ2, cм	№ схемы
2,2	38	9,0	9,5		42	3,4	15	2,5	10	4

Решение:

Кинематический анализ:

I. Тело 1

1. Рассмотрим движение тела 1 в ПНО ХУ.