Древняя Греция.

Дату появления математики как науки можно определить довольно точно – VI в. до н.э. На протяжении 20-30 предыдущих веков народы Древнего Востока сделали немало открытий в арифметике, геометрии и астрономии, но единой математической науки они не создали. Грекам же это удалось в течение одного столетия, что до сих пор кажется чудом. На полтораста лет раньше - в середине 8 века до н.э. - эллины пережили культурную революцию. Под влиянием финикийцев они изобрели свой алфавит, включив в него гласные буквы. Тогда же были записаны поэмы Гомера. Они стали первым учебником культуры, доступным каждому эллину - даже неграмотному. Ведь стихи нетрудно выучить наизусть! В ту же эпоху начались Олимпийские игры. На этих "съездах доброй воли" раз в 4 года встречались и дружески общались самые активные и просвещенные граждане из всех городов Эллады.

В Древней Греции имели хождение две основных системы счисления – аттическая (или геродианова) и ионическая (она же александрийская или алфавитная). Аттическая система счисления использовалась греками, по-видимому, уже к 5 в. до н.э. По существу это была десятичная система (хотя в ней также было выделено и число пять), а аттические обозначения чисел использовали повторы коллективных символов. Черта, обозначавшая единицу, повторенная нужное число раз, означала числа до четырех. После четырех черт греки вместо пяти черт ввели новый символ Г, первую букву слова «пента» (пять) (буква Г употреблялась для обозначения звука «п», а не «г»). Дойдя до десяти, они ввели еще один новый символ , первую букву слова «дека» (десять). Так как система была десятичной, грекам потребовались новые символы для каждой новой степени числа 10: символ H означал 100 (гекатон), X – 1000 (хилиои), символ M – 10000 (мириои или мириада). Используя число 5 как промежуточное подоснование системы счисления, греки на основе принципа умножения комбинировали пятерку с символами степеней числа 10. Так, число 50 они обозначали символом , 500 – символом , 5000 – символом , 50000 – символом . Еще большие числа обычно описывались словами. Число 6789 в аттической системе записывалось в виде .

Вторая принятая в Древней Греции ионическая система счисления – алфавитная – получила широкое распространение в начале Александрийской эпохи, хотя возникнуть она могла несколькими столетиями раньше, по всей видимости, уже у пифагорейцев. Эта более тонкая система счисления была чисто десятичной, и числа в ней обозначались примерно так же, как в древнеегипетской иератической системе. Используя двадцать четыре буквы греческого алфавита и, кроме того, еще три архаических знака, ионическая система сопоставила девять букв первым девяти числам; другие девять букв – первым девяти целым кратным числа десять; и последние девять символов – первым девяти целым кратным числа 100. Для обозначения первых девяти целых кратных числа 1000 греки частично воспользовались древневавилонским принципом позиционности, снова использовав первые девять букв греческого алфавита, снабдив их штрихами слева. Например, число 6789 в ионической системе записывалось как F. Чтобы отличить числа от слов, греки над соответствующей буквой ставили горизонтальную черту. Первоначально числа обозначались прописными буквами, но позднее сменились на строчные. Переход к ионической системе счисления произошел в золотой век древнегреческой математики и, в частности, при жизни двух величайших математиков античности Архимеда и Апполония.

Для обозначения дробей греки использовали приемы древних египтян и вавилонян. Египетское влияние в Греции было достаточно сильным, чтобы навязать грекам употребление лишь аликвотных дробей, однако большие вычислительные удобства системы счисления вавилонян побудили живших позднее александрийских астрономов перейти к использованию шестидесятиричных дробей. Переняв систему счисления Древнего Вавилона, греки заменили месопотамскую клинопись своими буквенными обозначениями. Например, Птолемей записал длину хорды, стягивающей дугу в 120 окружности радиусом в 60 единиц, как ^•, т.е. 103 + 55/60 + 23/60² единиц. В более поздний период в вавилонской шестидесятиричной системе имелся специальный символ для обозначения «пустой» позиции, и греческие астрономы ввели для этой цели букву омикрон.

Великие ученые Древней Греции: Фалес (624-547 гг. до н.э.), Пифагор (580-520 до н.э.), Анаксагор (499-428 до н.э.), Зенон (490-430 до н.э.), Демокрит (460-370 до н.э.), Платон (428-347 до н.э.), Аристотель (384-322 до н.э.), Евклид (325-265 до н.э.), Эратосфен (276-197 до н.э.), Архимед (287-212 до н.э.), Аполлоний (262-190 до н.э.), Гиппарх (190-120 до н.э.), Птолемей (85-165 н.э.)

Одним из первых великих мудрецов древности можно назвать Фалеса Милетского – купца, политического деятеля, философа, астронома и математика. Известно, что в 585 году до н.э. Фалес впервые предсказал эллинам солнечное затмение. Позднее эллины признали Фалеса одним из семи великих мудрецов основателей греческой культуры и науки. Фалес приделал к научным фактам "корни", ведущие к простейшим утверждениям - тем, которые доступны интуиции обычного человека.

В постижении Вселенной через математику огромный шаг вперёд сделал Пифагор. Он первым заметил, что сила и единство науки основаны на работе с идеальными объектами. Пифагор основал знаменитый пифагорейский союз (школу). В школе Пифагора процветала числовая мистика. Пифагор учил, что «число есть сущность всех вещей». Пифагорейцы стремились найти в природе и обществе неизменное. Они приписывали числам особые сверхъестественные свойства, понимали, что каждая вещь или явление обладают сущностью (содержанием) и видимостью (формой). Форма постигается органами чувств, а сущность умом и подчинена логике чисел. Познав мир чисел, познаём и сущность вещей . Предполагают, что от пифагорейцев ведет свое начало термин "математика". Пифагорейцы различали четыре матемы (с греч. "матема"- знание, наука, учение через размышление): учение о числах (арифметику), теорию музыки (гармонию), учение о фигурах и измерениях (геометрию) и астрономию с астрологией.

В Афинах с 511 года до н.э. процветала демократическая республика. Высочайший накал культурной жизни и научных споров привлекал в Афины самых талантливых ученых Эллады.

Задачи Древней Греции. 1. Задача суд Париса.

Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказали следующие утверждения.

Афродита. Я самая прекрасная. (1)

Афина. Афродита не самая прекрасная. (2)

Гера. Я самая прекрасная. (3)

Афродита. Гера не самая прекрасная. (4)

Афина. Я самая прекрасная. (5)

Парис, прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок, которым прикрыл глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему нужно было решить, кто из них самая прекрасная. Парис предположил, что все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух остальных богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?

Решение. Пусть Парис предположил, что Афина изрекла истину. Тогда она прекраснейшая из богинь и по предположению утверждение (4) ложно. Мы приходим к противоречию, т.к. Гера не может быть прекраснейшей из богинь, коль скоро прекраснейшая из богинь Афина. Т.е. исходное предположение ложно. Если Парис предположит, что истину изрекла Гера, то она прекраснейшая из богинь, и по предположению утверждение (2) ложно. Снова противоречие, т.к. Афродита не может быть прекраснейшей из богинь, коль скоро прекраснейшая из богинь Гера. И это предположение ложно. Если Парис предположит, что Афродита изрекла истину, то Афродита – прекраснейшая из богинь. Отрицание утверждений (2), (3) и (5) истинны и показывают, что Афродита – прекраснейшая из богинь.

2. Задача Фалеса. Определить расстояние от берега до корабля на море.

3. Задача Пифагора: Всякое нечетное число, кроме единицы, есть разность двух квадратов.