Исследовательская работа

по математике

по теме: «История цифр, систем счисления.

Способы вычислений и задачи Древнего мира»

Ёч Станислава Константиновича

09.09.1996 Г. Рождения

2007 год

142281, Г. Протвино, Московская обл.,

ул. Дружбы, д. 12 кв. 27

тел. 74-51-43, e-mail: yoch@rambler.ru

ученика 5 класса МОУ «Лицей № 1»

Учитель – Губина Марина Николаевна

Введение. Цели и задачи работы.

Современный человек (Homo sapiens sapiens) возник более 100 тысяч лет назад. Он, в отличие от H. sapiens, уже не полностью зависел от природы. Около 20 тысяч лет назад люди использовали огонь, хорошо была развита речь, и зарождалось подобие рисунчатого письма. Постепенно человек начал использовать счет. А раз появилось рисунчатое письмо, то должны были появиться и способы записи чисел. В каменном веке потребность счета возникла так же естественно, как и потребность в добывании огня. Об этом свидетельствуют находки археологов. Так, найдены различные кости, каменные предметы с зарубками, точками или черточками, сгруппированными по 3 или 5. Такая система записи чисел называется единичной, т.к. любое число в ней образуется повторением одного знака, символизирующего единицу. Единичная система записи удобна только для счета небольшого количества предметов. В дальнейшем возникла идея объединять единицы в группы, появился счет пятёрками, десятками, двадцатками. Так постепенно возникали различные системы счислений.

Целью настоящей работы является исследование способов записи чисел, применяемых в древних цивилизациях, и изучение их влияния на современную культуру.

Задачей настоящей работы является обзор способов записи чисел и иллюстрация математической культуры древних на примере решения задач.

На примере нескольких цивилизаций: Вавилона, Древнего Египта, Рима и Древней Греции, исследованы различные способы записи чисел, достижения математической науки в Древнем мире, влияние её на современный мир.

В таблице № 1 (Приложение № 1) представлены различные виды обозначения чисел в древнее время. В таблице № 2 (Приложение № 2) приводится сравнение различных систем счисления и данные об их использовании в настоящее время.

Вавилон.

Шестидесятеричная Вавилонская система – одна из первых систем. Она использовала принципы позиционного счёта – запись разных величин в зависимости от того, какую позицию они занимают. Основные их знаки - - вертикальный клин и горизонтальный клин. Одна вертикальная клинообразная черта (в раннешумерских табличках – небольшой полукруг) означала единицу; повторенный нужное число раз, этот знак служил для записи чисел меньше десяти; для обозначения числа 10 вавилоняне, ввели новый коллективный символ – более широкий клиновидный знак с острием, направленным влево, напоминающий по форме угловую скобку, (в раннешумерских текстах – небольшой кружок). Число шестьдесят снова являлось единицей. Один клиновидный знак мог использоваться для обозначения и 1, и 60, и 60², и 60³, в зависимости от занимаемого им в записи числа положения, подобно тому, как единица в наших обозначениях используется в записях и 10, и 10², и 10³, и в числе 1111. При обозначении чисел больше 60 знаки, выступающие в новом качестве, отличались от старых тем, что символы разбивались на «места», или «позиции», и единицы более высокого порядка располагались слева. При таком способе записи для обозначения сколь угодно больших чисел уже не нужно было других символов, кроме уже известных. Например, число 6789 можно было записать так: , т.е. 1(60)² + 53(60) + 9. Минус этой системы в том, что в ней не было нулей. Запись числа 72 могла означать и 72 1·(60)+12 и 4320 1·(60)²+12·(60), так как числа умножались на 60 а не на 10. Однако в период правления селевкидов, ок. 300 до н.э., эта неоднозначность была устранена введением специального символа в виде двух небольших клиньев, помещаемого на пустующее место, т.е. обозначающего пустую позицию в записи числа. Например, символ означал число 3601, т.е. 1(60)² + 0(60) + 1. В то же время не было найдено ни одной таблички с записью, в которой символ нуля находился бы в конце числа. Однако превосходство разработанной в Месопотамии системы счисления отчетливо видно в обозначении дробей. Здесь не требовалось вводить новые символы. Как и в нашей собственной десятичной позиционной системе, в древневавилонской системе подразумевалось, что на первом месте справа от единиц стоят величины, кратные 1/60, на втором месте – величины кратные 1/60² и т.д. Привычное нам деление часа и углового или дугового градуса на 60 минут, а одной минуты – на 60 секунд берет начало от вавилонской системы счисления.

В Вавилоне применяли огромное множество таблиц – от сложения до квадратов, кубов и корней. Шестидесятеричная система широко применялась в астрономических расчётах вплоть до эпохи Возрождения. Именно ею пользовался во II в. греческий математик и астроном Клавдий Птолемей при составлении таблицы синусов, древнейшей из дошедших до нас.

Задачи в Вавилоне. Среди вычислительных задач на клинописных табличках встречаются задачи на арифметические и геометрические прогрессии. Методы решения в основном опирались на идеи пропорциональной зависимости и среднего арифметического. В клинописных текстах содержатся первые задачи на проценты – ведь Вавилон стоял на пересечении торговых путей, и здесь рано появились денежные знаки и кредит. Было у вавилонян и правило для приближённого вычисления квадратных корней. Большое число задач сводится к уравнениям или системам уравнений первой и второй степени. Их записывали без символов, в своей терминологии. Разговорным языком вавилонян был аккадский, но в науке в качестве терминов они употребляли шумерские слова.

Задачи: 1. Разделить прямой угол на 3 равные части.

Решение: Древние вавилоняне умели строить равносторонний треугольник, а с его помощью делить прямой угол на три равные части. Пусть дан прямой угол АВС. Требуется разделить этот угол на три равные части. Для этой цели на отрезке ВD стороны ВА построим равносторонний треугольник BED. Тогда угол СВЕ и будет составлять одну треть данного угла. Остается только разделить пополам угол EBD и задача будет решена.