Введение

В современном мире аналоговая схемотехника уже осталась на заднем плане, сейчас схемотехника больше похожа на конструктор LEGO, который нужно правильно собрать и знать характеристики этого “конструктора”. Однако перед тем как собирать, нужно разработать данное устройство, смоделировать его, рассмотреть например его импульсную характеристику, прозондировать разными сложными сигналами в зависимости от требований заказчика и так далее. Эти устройства состоят из различных цифровых систем. Под цифровой системой понимается преобразование аналогового сигнала в последовательность чисел с последующей обработкой этой последовательности.

Цифровая фильтрация позволяет реализовывать более сложные алгоритмы обработки сигналов, нежели аналоговая. Например, обработкой последовательности чисел может заниматься специализированный микропроцессор или микроконтроллер.

Курсовая работа ставит своей целью привить студентам практические навыки в области дискретной и цифровой обработки сигналов.

1.Оцифровка аналогового сигнала

Для того чтобы перейти к цифровому виду нужно выбрать частоту дискретизации. По теореме Котельникова она находится следующим образом, формула (1).

Однако работая с реальными сигналами, данной частоты оказывается недостаточно и формула 1 преобразовывается в следующий вид, формула (2).

где в свою очередь принимает любые целые числа.

В нашей работе нет смысла для нахождения (верхней частоты) спектра рассматривать весь набор импульсов, можно рассмотреть лишь тот у которого самый широкий спектр, то есть самый узкий во временной области. В данном сигнале это трапецеидальный импульс, чья длительность равна только лишь . Изобразим данный импульс на рисунке 2.

Рисунок 2 – Трапецеидальный импульс

При построении данного импульса было использовано следующее математическое описание в программе Mathcad, формула (3).

Теперь с помощью преобразования Фурье (FFT) перейдем в частотную область, формула (4).

Построим АЧХ, рисунок 3.

Рисунок 3 – АЧХ трапецеидального импульса

Теперь возьмем верхнюю частоту по длительности импульса, формула (5).

Чтобы доказать что по формуле (1) частоты дискретизации будет недостаточно попробуем сначала с ней поработать, то есть .

После того как выбрали частоту дискретизации, которую скорее всего придется увеличить в дальнейшем, так как при 2кГц будут ошибки при восстановлении, можно перейти к MATLAB.

Для того чтобы изобразить наш сигнал на временной оси с интервалом дискретизации в MATLAB нужно задать массив временных отсчетов. Он задается следующим образом: t=-1e-5:dt:28.3e-3.

Теперь зададим наши импульсы поочередно и просто их просуммируем в конце – получится первоначальный импульс.

Прямоугольный импульс:

ti1=7e-3; % Длительность импульса

x1=3*rectpuls(t-ti1/2,ti1);

Синусоидальный импульс:

t11=7e-3;

t22=19e-3;

x2=4*sin(pi*(t-t11)/12e-3).*(t>=t11).*(t<=t22);

Треугольный импульс:

x3=3*tripuls((t-t22)-4e-3,8e-3);

Трапецеидальный импульс:

t33=27e-3;

t44=28e-3;

x4=-9*trapmf(t,[t33 t33+0.08e-3 27.67e-3 t44]);

Общий импульс:

x=x1+x2+x3+x4;

Для вывода графика используется функция plot, выглядит она следующим образом: plot(t,x,'k');

Где t – это массив временных отсчетов, который мы задали в начале, x – сам сигнал, а ‘k’ означает, что график будет черного цвета. Изобразим выданный график на рисунке 4.

Рисунок 4 – Общий импульс (восстановленный)

Восстановление происходит с помощью теоремы Котельникова, формула (6).

Как видно из рисунка 4 с данной дискретизацией, прямоугольник больше похож на трапецию, второй ноль пропал, а трапеция напоминает треугольник, те восстановление произошло с большой ошибкой. Отсюда делаем вывод, что нужно увеличить частоту дискретизации. Путем экспериментального подбора, нашу частоту дискретизации пришлось увеличить в 50 раз, так как при меньшей частоте дискретизации информация о переднем фронте трапеции была не ясна, он выглядел как вертикальная линия. Это связано с тем, что по заданию у нас очень маленький интервал по времени этого фронта, всего 0,08ms. Изобразим восстановленный сигнал на рисунке 5.

Рисунок 5 – Общий импульс (восстановленный) после увеличения частоты дискретизации

Изобразим его в дискретной форме, рисунок 6.

Рисунок 6 – Общий импульс в цифровой форме

Как видно из данного рисунка для хорошего восстановления понадобилось много отсчетов, для наглядности также изобразим передний фронт трапеции в увеличенном масштабе, покажем, сколько выборок понадобилось для его точного восстановления, рисунок 7.

Рисунок 7 – Передний фронт трапеции в дискретной форме

По рисунку видно, что для точного восстановления переднего фронта понадобилось 9 выборок.

Таким образом, мы оцифровали наш импульс, здесь можно подытожить, что разработчику приходится выбирать достаточно большую частоту дискретизации для точного восстановления формы сигнала, чтобы сохранить всю информацию о нем. Особенно, если форма сигнала – быстроменяющаяся.