Бақылаушылар мен операторлар

Бөлшектің координатасының ықтималдық тығыздығын біле отырып, матиматикалық күту деп аталатын кординаталардың орташа мәнін табуға болады.

Импульстің орташа мәнін қалай табуға болады? Ол үшін толқындық пакетті қараймыз:

Бұл жерде уақыт арнайы бекітілген және толқындық функцияның арнайы бір мәні ретінде көрсетілмеген. Толқындық функцияның нормалау шарттарын жазайық:

Бұл жерде белгілі қатынас қолданылады.

Әрине, Борнға сай, бөлшектің импульсін өлшеу кезінде |C(k)|² тығыздық ықтималдылығы сияқты интерпретациялауға болады. Импульстік сипаттамада, ψ(0) функциясы C(k) Фурье-образын толқындық функция деп атайды.

ұмтылады деп алып , соңғы интегралды бөлшектеп интегралдағанда келесі өрнекті аламыз,

Координаталық бейнедегі орташа импульс үшін мына өрнек алынады.

Сонымен толқындық функция кеңістіктегі импульске дифференциалдық оператор сәйкес келеді

Координата көбейту оператырына жауап береді.

Толқындық функция кеңістігіндегі C(p) импульстік бейнеде мына өрнекке ие боламыз:

Сондықтан дербес жағдайда орташа координатамыз мынаған тең

Алынған нәтижелер келесі әдіспен қорытындыланады : мәні бақылаушымен өлшенуі мүмкін әр А физикалық шамаға толқындық функция кеңістігіндегі А сызықтық оператор сәйкес келеді. Толқындық функцияның дамуын анықтайтын Гамильтонның негізгі операторы – гамильтонмен импульспен координат операторлары арқылы өрнектеледі.

Бақылаушының орташа мәні ереже бойынша төмендегідей есептеледі:

Алдыңғы уақытта көптеген толқындық функцияларды сызықтық кеңістік деп қарастырып функционалды талдау мәндерін қолданамыз.Скаляр туынды:

векторының нормасы кезінде мына түрде анықталған:

мына түрде анықталған . операторына төмендегі анықтамаға сәйкес эрмиттік ілеспелі оператор жазылады.

A бақылаушының операторы болсын. Оның орташа мәні нақты сан болу керек . Сондықтан

Бақылаушының операторы эрмитті болу керек : . Квадраттық интнгралданған функциялар кеңістігінде координата мен импульстің енгізілген операторлары эрмитті екенін тексеру оңай.

Суперпозиция принципі

Шредингер теңдеуі мен бақылаушылардың операторының сызықтығын төмендегі шартқа сәйкес суперпозиция принципінің орындалуы қамтамасыз етіледі.Егер кванттық жүйе ψ₁ және ψ₂ толқындық функциялармен сипатталатын қалыпта орналасса, онда ол төмендегі қалыпта да орналасуы мүмкін:

мұндағы c₁,c₂- еркін комплекс сандар. c - еркін комплекстік саны ψ және сψ, функциялары бір қалыпты сипаттайды. Физикалық түзелетін қалыптар үшін ψ<0 болады. Суперпозиция принципі үнемі осындай қалыптар үшін ψ=1. Нормалау шартын таңдауға мүмкіндік береді , ψ₁ және ψ₂. қалыптарының суперпозиция түріндегі қалыпты қарастырамыз ,норма квадратының және А бақылаушының орташа мәнінің ықтималдық тығыздығы үшін бұл жағдайда төмендегідей өрнекті аламыз:

Бұдан кванттық механика ықтималдылықтың классикалық теориясымен бірікпейтінін көруге болады: классикалық аналогқа ие болмайтын ψ₁ және ψ₂ қалып интерференциясының сипаттамалы эффектісі пайда болады.

Әдебиеттер: негізгі [1-12], қосымша [1-5].

Тақырып №5. Кванттық механиканың негізгі постулаттары. Гейзенбергтің анықталмағандық қатынастары. Кванттық механиканың негізгі постулаттары.

1. Гейзенбергтің анықталмағандық қатынастары.

2. Кванттық механиканың негізгі постулаттары.

Гейзенбергтің анықталмағандық қатынастары.

және екі бақыланушы коммутацияланбайды делік.Онда олардың коммутаторлары мына түрде жазылады:

мұндағы C- эрмиттік оператор. ψ еркін жағдайдағыбақыланушылардың дисперсиясы төмендегі шектеуді қанағаттандыратынын көрсетейік:

Ол анықталмағандық қатынас деп аталады және ең алғаш және бақыланушылардың дербес жағдайы үшін 1927 жылы Гейзенберг алы.Оның жалпы айғағы Вейлеге тиесілі. Бақыланушыларды енгізейік:

Және : нақты параметірінің теріс емес функцияларын қарастырайық:

: еркіндіктің нәтижесінде алынған квадратты 3 мүшеліктің дискриминанты оң болмауы керек:

теңдігін ескере отырып жоғарыда көрсетілген анықталмағандық қатынасын аламыз. Коммутацияланатын бақыланушылар үшін анықталмағандық қатынасының оң бөлігі осылай бақыланушылардың бір мезгілдегі өлшелген мәндеріне сәйкес келетіндей нөлге айналады.Коммутацияланбайтын бақыланушылар үшін анықталмағандық қатынас осы бақыланушылар бір мезгілде өлшенуі мүмкін болатын нақтылыққа шектеу қояды. Ең күшті шектеу кез-келген жағдайы үшін, мысалы, егер кезіндегі жағдайында кездеседі. Мұндағы c=const. Бұл жағдайда екі бақыланушы да анық бір мәнге ие болатын жағдай болмайды. Мысал: болсын, онда

және Гейзенберг анықталмағандық қатынасын аламыз:

Анықталмағандық қатынас сапа жағынан толқындық пакеттің даму талдауынан алынуы мүмкін. Координаттық және импульстік бейнеде пакеттің тиімді өлшемдері яғни бөлшектің координат және импульс анықталмағандығы немесе қатынасымен байланысты болғандықтан импульс болады.

Бөлшектік талдау А және В операторлары бақыланушылардың коммутацияланбайтын жағдайында, олардың біреуінің өлшенуі басқа бақыланушының өзгерісіне әкеледі. Өлшеу процесінде жүйенің ауытқуы мүмкінжәне үнемі анықталмағандық қатынас орындалады. Басқа сөзбен айтқанда осындай бақыланушыларды нақтырақ өлшеу үшін өлшеуіш құралдары қолданады. Анықталмағандық минимумдарды алынатын, яғни анықталмағандық қатынаста нақты теңдік орындалғандағы Ψ жағдайын қарастырайық. Ол үшін теңдеулер жүйесін аламыз:

Бұдан:

анықталмағандықтар көбейтіндісін минимумдайтын күйді анықтау үшін күйлерді анықтауға арналған теңсіздіктер мына түрге ие болады:

Координата мен импульс жағдайын қарастырамыз:

Координаттық бейнеде мына теңдеуді аламыз:

Мұндағы

Нормальданған шешім мына түрде болады:

Бұл жағдайда:

"Координата-импульс" анықталмағандық қатынасы бөлшектің нақты траекториясының жоғын көрсетеді. Дербес жағдайда кеңістіктің берілген нүктесінде импульсті анықтау мүмкін емес: импульс кванттық бөлшектің жағдайын толық сипаттайды. Ол мысалы толқын ұзындығы мен импульсі арасындағы деброилдық қатынастың көмегімен периодтық құрылым арқылы бөлшектердің шоғыры өткен кезде түзілетін дифракциялық бейнені жолдау жолымен өлшеуге болады.