Көп бөлшектердің жүйелері.

H=L²(R³)бір бесспиндік бөлшектердің күйлер кеңістігі, 1/2 спині бар бөлшектер ( бірлігінде) - H=L²(R³) C². Бөлшектер жүйесі үшін сәйкесінше

және

Эксперименттер, бұл күйдің кеңістік құрылымы әр түрлі бөлшектер жүйесі үшін ғана дұрыс деп көрсетеді. Жүйенің толқындық функциясы

мұндағы

- r_n кеңістік координат және n-дік бөлшектердің дискретті спиндік айнымалылар жиындары. Бұл кеңістіктегі скалярлық көбейтіндісі

Кванттық механикада бірдей бөлшектер болмайды. 4 – ші дәрісте сипатталған Постулаттар теориясы жаңа принциппен толықтырылады (бірдей бөлшектердің салыстырылмайтындық принципімен).

Теңдік принципі: Жүйенің кеңістік күйі бірдей N бөлшектері H_S симметриялық функцияның кеңістігі және H_A антисимметриялы функцияның кеңістігі болып табылады. және сәйкес келетін функцияларды анықтайық. Ол үшін P_N элементтерінің N орын ауыстыру топтарын қарастырамыз. Оның элементтері – орын ауыстыру

бірлік элементтері – теңдік орын ауыстыру.

ал P₂P₁ орын ауыстыру көбейтіндісі - P₁ және P₂ екі тізбектелген орын ауыстыру нәтижесі. H толқындық функцияның кеңістігінде P орын ауыстыру , операторымен мына түрде келтіріледі:

H кеңістігінде P_N топтарын сипаттайтын , - унитарлық оператор. H кеңістігінде екі инвариантты операторлардың симметриялы және антисимметриялы функциялары:

Бұл функциялар – орын ауыстыру операторларының меншікті функциялары:

Мұнда жұптық орын ауыстыру енгізілген n_P екі бөлшектің ілгерлемелі орын ауыстыруы үшін жұп (тақ) сан. Шынында . Онда N=2

Негізінде

жағдайында H_A мен H_S қарағанда басқа күрделі инвариантық кеңістік бар, бірақ олардың физикалық мағынасы жоқ. функциямен сипатталатын бөлшектер бозондар (фермиондар) деп аталады және Бозе- Эйнштейн (Ферми - Дирак) статистикасына бағынады. Кванттық механикада спин мен статистиканың келесідей байланысы тағайындалады: бүтін спині бар бөлшек (s=0,1,2,...) бозон болып табылады, ал жартылай спині бар бөлшек (s=1/2,3/2,5/2,...) фермион деп аталады. Ескерту. Кванттық теорияда спин мен статистиканың байланысы Паули принципімен дәлелденген . Ол принцип себепті немесе лоренц- инвариантда негізделген(W. Pauli, 1940).

Бөлшектердің құрамдық теңдік статистикасы. Олардың құрамына кретін фермиондардың жұп санымен анықталады. Мысалға, дитрон (атомының ядросы D=²₁H=(pn)), 1/2спині бар, протон мен нейтронан, яғни екі бөлшектен құралған, ол бозон болады. N жүйенің теңдігі гамилтоннан бірдей өзара әсерлесетін бөлшектің массасы m сыртқы өрісте V(r) мынадай болады:

мұндағы U - жұптың өзара әсерлесу потенциалы.

V- тәуелсіз потенциял.

- қозғалыс интегралы:

Шредингер теңдеуі бойынша.

Толқындық функцияның симметрия типі өзгермейді. Басқаша айтқанда, спин мен статистика байланысы бұзылмайды. Енді сыртқы өрістің бөлшектердің өзара әсерлеспейтін жүйесін қарастырайық (U=0). Мұнда гамильтоннан бөлшектердің гамильтондарының қосындысы ретінде көрінеді:

Шредингердің стационарлық теңдеуінің шешімін бір бөлшекті толқындық функцияның туындысы ретінде табуға болады.

функциясы теңдік принципін қанағаттандырмайды, ШТ шешімі болса да орын ауыстыру операторы қозғалыс интегралы болас да, - функциясы ШТ шешімі.

Сондықтан симетриялық нақты шешімі функцияның сызықты антисиметриялық комбинациясы арқылы алынады.