11. Тақырып. Кванттық статистикадағы үлестірулер. Ферми-Дирак үлестіруі. Бозе-Эйнштейн үлестіруі.

Мұнда спектралдық кеңістік пайдаланылады.

Жоғарыда айтқандай, бұл үш үлестіруден тұрады:

1) Ферми-Дирак үлестіруі. Бұл бөлшектердің антисиметриялық күйін қарастырады. Квантық механикадағы антисиметрия толқындық функциямен сипатталады. Мысалы, бұған электрон жатады. - спиндер.

2) - симметрия толқындық функциямен сипатталады. Бұл Бозе-Энштейн үлестіруі S=0,1,2,…

3) Планк үлестіруі.

Бұл сәуле шығару, жұту, т.б. қарастырылады. Солардың үлеструі.

1-ші үлестіру бойынша термодинамикалық шамалар өзара коммутативті емес (орын ауыстыруға болмайды). Мұнда термодинамикалық шамалардың барлығы операторлық түрде қарастырылады.

2-ші үлестіруде керісінше, яғни коммутативті болады.

3-ші үлестіру абсолютті қара дененің сәулеленуінің теориясын құрайды.

Ферми - Дирак үлестіруі.

Ферми - Дирак үлестіруін Паулидің принципіне сүйене отырып табуға болады. Мұнда бір күйдегі n - бөлшектің саны не 0-ге, не 1-ге тең болады.

n=0 , 1

Бұл үшін егер де . Сол сияқты

(1), себебі бұдан

Ферми-Дирак үлестіруі үшін себебі n= Паули принципі.

-термодинамикалық потенциал, μ-химиялық потенциал. Біз білеміз: , онда орта мәні немесе (2)

Ферми - Дирак үлестіруі шығады:

Бозе-Эйнштейна үлестіруі.

Бұл үлестіру симметриялық бөлшектерге онда , симметриялық толқындық функция. Ьұнда n=0,1,2, ...

(4)

Геометриялық прогрессия орындалу үшін қатар сәйкестік керекті турде μ<1, яғни химиялық потенциал кері түрде болуы керек: -де де орындау керек, онда

(5)

Ал , одан

(6)

(6’)

(7)

Ал , s – спин.

Бозе-Эйнштейнің (4-6) үлестіруі болады.

Әдебиеттер: негізгі және қосымша.

12. Тақырып. Элементар бөлшектердің Ферми және Бозе газдары.

Жоғарыда қарастырғандай (2) және (6) ± таңбалармен өзгеше.

(8)

, себебі

бұнда g=2S+1, S- элементарлы бөлшектер спині, dГ- спектрлық көлем, статистикалық салмақ

,

(9)

немесе

(10)

Олай болса , , , сонда

(11)

Термодинамикалық потенциалға ауыссақ Ω:

(7)

Оны табуға болады, ол (қосындыдан интегралдауға ауысу әдісі)

(12)

(13)

Егер Ω=-PV, онда

, (14)

PV=NT (15) - Клапейрон теңдеуі.

Егер , онда (12) теңдеу:

(16)

Аддитивтіктең S=-N ln P+NC_p ln T=const. Одан

. (17)

Егер , онда

(18)

PV=NT

(19)

(20)

Біздін жағыдайда:

(21)

(22)

идеал газбен сәйкес келмейді.

Әдебиеттер: негізгі және қосымша.

13 Тақырып. Сиретілген электронды газ. Қара сәулелену.

Ол Ферми статистикасына бағынады. Т=0 болған кезде осындай электронды газ толығымен сиретілген газ деп атылады.

Паульдің принципы бойынша бір электрон ең кіші немесе ең үлкен q₀ және олардың p,p+dp интервалындағы ілгерлемелі қозғалысынынаң тұрады және де кванттық күйлер санымен анықталады:

(1)

Себебі мұнда p₀- ең үлкен импульс. Осыдан:

және

(2)

Т=0 болған кезде Ферми статистикасынаң 1, немесе 0 тең мәнге ие болады.

1. болғанда -1

2. 2) болғанда - 0.

, онда .

, сонда .

.

болғанда, онда –сиретілген газ

1. Сиретілген газ жағдайында С_p=C_V=С және , онда .

2. 

Қара сәулелену.

Фотондық газ Бозе-Эйнштейнің статистикасына бағынады. Фотондар өзара әсерлеспейді. Ортада бұл орындалмауы мүмкін. Бірақта, еркін энергия аз деп болжасақ яғни , онда екенін табуға болады және Бозе-Эйнштейн үлестіруінен:

(1)

мұндағы , ал , - толқындық вектор.

Берілген үлестіру Планк үлестіруі деп аталады.

Осы кезде

(2)

- толқындық вектор және , онда (2) теңдеу мына турде жазылады:

және

(3)

Белгілі Планк теңдеуі.

Әдебиеттер: негізгі және қосымша.